异或 问题

问题定义：有2n+1个数，只有一个单着，别的都是成对的，找出这个单着的数。比如：2 1 3 2 1。3是答案。

思路一：暴力搜索——每个数都和其他数比较，找不到相同的，就得到了结果。时间复杂度为o(n²)

思路二：排序搜索——先给序列排个序，之后从前往后一对一对的找，直到不是成对的为止。时间复杂度，怎么也得o(nlgn)

思路三：异或计算，一趟搞定。时间复杂度o(n)

直接看思路三：
原理：异或操作（^）——（对于位操作）相同为0，相异为1.比如：1^0 = 1, 1 ^1=0

这样：

• 两个相同的数异或就为0
• 任何数和0异或为自己（转化到位。1^0 = 1, 0 ^0=0）

例如：5 ^ 5 = 0

      5 ^ 0 = 5

 

对于本题：2 1 3 2 1，都异或一下：相同的（2^2,1^1） 为0，剩下的3和0异或为自身3。(注：异或具有交换律)

代码：

#include <stdio.h>int main(){      int a[5] = {2, 1, 3, 2, 1};      int aim = a[0];      for(i = 1; i < 5; i++)       {            aim = aim ^ a[i];        }        printf("Result:", aim);        return 0;}

异或在这方面挺好，再来个应用：

不用第三个数直接交换两个数：

#include <stdio.h>void swap(int *a, int *b){    *a = *a ^ *b;    *b = *a ^ *b;    *a = *a ^ *b;}int main(){    int a=3, b=5;    swap(&a, &b);    printf("%d\n%d", a, b);    return 0;}

转自：jihite

hihoCoder #1509 : 异或排序

描述

给定一个长度为 n 的非负整数序列 a[1..n]

你需要求有多少个非负整数 S 满足以下两个条件：

(1).0 ≤ S < 2⁶⁰

(2).对于所有 1 ≤ i < n ，有 (a[i] xor S) ≤ (a[i+1] xor S)

题解：（转自：伪·ACMer）

由于每一个数都有一个二进制表示，由数论知识我们知道比较两个数是从高位开始比较的，当比较到某一位发现一个数该位为1而另一个数该位为0时就知道前面那个数一定比后面那个要大，而再考虑异或的性质：

0 Xor 1 = 1

1 XOR 1 = 0

0 XOR 0 = 1

假设我们有两个数x,y，不妨设x>y，那么存在第i位使得x与y在更高的位都相等但是x在该位为1而y在该位为0，由于 1 XOR 1 = 0, 0 XOR 1 = 1，那么假若存在S，只要S在第i位为1，就能使得 (x XOR S) <= (y XOR S)

反正只要该位符合题意就好，其他位是任意的，显然这个任意的数目就是我们要求的了0。0思路大体也出来的

先生成一个S[60]的数组，扫描一遍，检索两个数是小大还是大小关系，小大关系的话在那个位置0，大小关系的话在那个位置成1，注意如果那位本来有数的话要看看是否一致，不一致说明这个东西他不存在

最后看看有多少个位置是没有被固定的，那么2的那个那个数目次方就是所求。

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#define LL long longusing namespace std;const int ma=65;LL num[ma],pow[ma];int flag[ma];LL quick_pow(int x) ///计算2^k(2的k次方){    if(pow[x]!=0) return pow[x];    return pow[x]=quick_pow(x/2)*quick_pow(x-x/2);}int fi(LL x){    int i;    for(i=60-1;i>=0;--i)        if(x>=quick_pow(i)) break;    return i;}int main(){    memset(pow,0,sizeof(pow));    pow[0]=1;    pow[1]=2;    quick_pow(60);    int n;    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&num[i]);    memset(flag,-1,sizeof(flag));    LL cnt;    int fg,k;    for(int i=1;i<n;++i)    {        cnt=num[i]^num[i+1];        fg=(num[i]>num[i+1]);        k=fi(cnt);        if(k==-1) continue;        if(flag[k]==-1) flag[k]=fg;        else if(flag[k]!=fg)        {            printf("0\n");            return 0;        }    }    k=0;    for(int i=0;i<60;++i)        if(flag[i]==-1) k++;    printf("%lld\n",quick_pow(k));    return 0;}