汉诺塔通项公式证明

汉诺塔通项公式

汉诺塔问题家传户晓，其问题背景不做详述，此处重点讲解在有3根柱子的情况下，汉诺塔问题求解的通项公式的推导。

问题背景：有A，B和C三根柱子，开始时n个大小互异的圆盘从小到大叠放在A柱上，现要将所有圆盘从A移到C，在移动过程中始终保持小盘在大盘之上。求移动盘子次数的最小值。
变量设置：n为圆盘个数，H（k）为n=k时移动盘子次数的最小值。
递推公式： H（k）=2H（k-1）+1。
通项公式：H（k）=2^k-1。
证明：
（1）证明递推公式：首先被移动到C盘的必定是最大的盘子，否则必定违反“在移动过程中始终保持小盘在大盘之上”的规定。既然要将最大盘移动到C，此时最大盘之上必定没有任何盘子，亦即它独自在一根柱子上，要做到这点最优做法当然是先把较小的n-1个盘子由A移动到B，剩下最大盘独自在A。将n-1个盘由A移动到B花费的最少次数为H（n-1）。此时再将最大盘由A移动到C，此时移动总次数为H（n-1）+1。接着把剩下的n-1个盘由B移动到C，花费的最少次数当然也是H（n-1）。于是得到总移动次数2H（n-1）+1.证得H（k）=2H（k-1）+1。

（2）推导通项公式。由H（k）=2H（k-1）+1得H(k)+1=2(H(k-1)+1)，于是{H(k)+1}是首项为H(1)=1，公比为2的等比数列，求得H(k)+1 = 2^k，所以H(k) = 2^k-1