【证明】错排公式

来源：百度百科

问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法?

错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法;

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况:⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法;

综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

下面通过这个递推关系推导通项公式:

为方便起见，设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n,

则N(1) = 0, N(2) = 1/2.

n ≥ 3时，n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2)

即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)

于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.

因此

N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!,

N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!.

相加，可得

N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!

因此

D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].

此即错排公式。