Codeforces Gym 101190 (NEERC 2016) F. Foreign Postcards (dp + 期望)

题意

1. 对于一叠 n 张卡片，随机取前 k 张
2. 若取到的 k 张的第一张为 W ，则 k 张卡片的状态全部翻转。
3. 将 k 张卡片在桌面上展示
4. 若一叠卡片仍有剩余，则继续上述操作

问最后桌面上为 W 的卡片的期望?

解题思路

首先计算对于第 i 张卡片，其为 k 张中的第一张的概率，依次为 1, 1n , 1n−1, … （比较好处理，不作说明）。

令 dp[i][0] 表示第 i 张卡片不翻的概率，dp[i][1] 表示第 i 张卡片翻转的概率，则 dp[i][0]+dp[i][1] = 1 。

状态转移比较容易：

令第 i 张为首张的概率为 p

• 若第 i 张为 W ，则其不翻的概率为 dp[i][0] = (1-p) * dp[i-1][0]
• 若第 i 张为 C ，则其不翻的概率为 dp[i][0] = p + (1-p) * dp[i-1][0]
• 第 i 张翻转的概率为 dp[i][1] = 1 - dp[i][0]

统计每张最终为 W 的概率和即为问题期望

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#include<fstream>using namespace std;const int N = 1e6 + 10;double dp[N][2];int main(){    freopen("foreign.in", "r", stdin);    freopen("foreign.out", "w", stdout);    string s;    double p, ans = 0.0;    cin>>s;    dp[0][0] = s[0] == 'C' ? 1:0;    dp[0][1] = s[0] == 'C' ? 0:1;    for(int i=1;i<s.size();i++)    {        p = 1.0 / (s.size()-i+1);        dp[i][0] = (s[i] == 'C' ? p : 0) + (1-p) * dp[i-1][0];        dp[i][1] = 1 - dp[i][0];        ans += (s[i] == 'C' ? dp[i][1] : dp[i][0]);    }    printf("%.10lf\n", ans);}