BZOJ 1925: [Sdoi2010]地精部落 dp

1925: [Sdoi2010]地精部落

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Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

 
对于 20%的数据，满足 N≤10； 
对于 40%的数据，满足 N≤18； 
对于 70%的数据，满足 N≤550； 
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

不就是膝盖吗，给了 Orz

一个多月前“过”了这道题，还自欺欺人地认为懂了这道题，这直接导致了昨晚多校联测2的T3爆炸，现在想来简直是道水题，不过还是要有“懂得这题怎么做”的前提。。。地精部落这道题可以约化为另一个问题：对于n的排列，告诉你每个数相比于前一个数是大了、小了、还是都可以，求这样的排列的方案数。

先说这一题叭，看过很多其他人的题解，依然是云里雾里，因此我会写的详细一点。我的写法可能与其他人有些不同，但是本质是完全一样的。

首先令f(i, j)表示已经考虑完i的排列了，最后一个数是j，且它为山谷的方案数。这里特别注意！这个i的排列并不一定非要是闭区间[1, i]里的数！这种排列仅仅表示一个大小关系，一种相对的关系，有种离散化的感觉（也可以理解为考虑完i个数了，最后一个数是其中第j小的，且它为山谷的方案数）。这一点非常重要，一定要理解，如不理解可以先往下看，我后面会举个例子。类似地，令g(i, j)表示已经考虑完i的排列了，最后一个数是j，且它为山峰的方案数。那么状态转移方程就是：

    ①

为什么是这样呢？首先f数组的值一定是从g数组转移过来的，因为如果这个是山谷，那么上一个就是山峰。那么为什么等于后面那一串呢？考虑这个例子，7253，这是你填完最后一个数字3后的某个方案。很显然，这种方案应该属于状态f(4, 2)，因为已经考虑4个数了，3是其中第2小的。那么f(4, 2)这种状态可以从g(3, 2)与g(3, 3)转移过来，在7253这个例子中，f(4, 2)是从g(3, 2)转移过来的，因为在725中，5是第2小的。那么前i - 1个数中，最小能小到多少呢？（当然是考虑最小的，因为越大，就越可能转移到当前状态，所以最大能大到第i - 1小）答案是能小到j。因为前i个数中第j小的，必然比前i - 1个数中第j小的要小！可以通过刚刚7253这个例子来感受一下，3是前4个数中第2小的，5是前3个数中第2小的。

这个弄懂了之后，我们又可以发现一个很容易发现、非常显然的结论：把一个符合条件的n的排列，对于没一个数i，将其改为n + 1 - i，新的排列依然符合条件，并且原来的山峰变成山谷，山谷变成山峰，因此有：

   ②

联立①②，得

用一个辅助变量s，就可以O(1)转移了，最后ans = (f[n][1] + f[n][2] + ... + f[n][n]) * 2，因为f表示的是最后一个为山谷，根据那个显然的结论，可以得到等量的最后一个为山峰的方案数。在加一个滚动数组压缩空间就可以过了。

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