[BZOJ]1485: [HNOI2009]有趣的数列 Catalan数

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

    (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

    (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

    现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

这道题好强啊！
我们先考虑填偶数位。
因为容易发现只要确定了偶数位，奇数位的就可以确定。（因为要把剩下的数从小到大插进去）
然后我们又可以发现：对于这个长度为n的偶数位序列来说，a[i]>=2*i（因为a[i]比所有前面偶数位要大，也比前面的奇数位大）
根据这两个性质，问题可以转化为：在一个长度为n的序列a中，填入1-2*n的数，使序列严格递增，且a[i]>=2*i
我们可以写出一个DP:f[i][j]表示填完前i位，第i位的数为j
代码大概是这样的：（没有mod）

for(int i=1;i<=n;i++) s[i][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=2*i;j<=2*n;j++){if(i==1) f[i][j]=1;else f[i][j]=s[i-1][j-1];s[i][j]=s[i][j-1]+f[i][j];}}

然后我们发现，这就是Catalan数
取模的话用分解质因数。。。挺好理解的，自己看看吧

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=2000010;#define LL long longLL mod;int prime[maxn],num[maxn],len=0,n,tot[maxn];bool mark[maxn];void getprime(int x){memset(mark,false,sizeof(mark));for(int i=2;i<=x;i++){if(!mark[i]){prime[++len]=i;num[i]=len;}for(int j=1;j<=len&&prime[j]*i<=x;j++){mark[prime[j]*i]=true;num[prime[j]*i]=j;if(i%prime[j]==0)break;}}}void work(int x,int f){while(x!=1){tot[num[x]]+=f;x/=prime[num[x]];}}int main(){memset(tot,0,sizeof(tot));LL ans=1;scanf("%d%lld",&n,&mod);getprime(n*2);for(int i=n+1;i<=2*n;i++)work(i,1);for(int i=1;i<=n+1;i++)work(i,-1);for(int i=1;i<=len;i++)while(tot[i])tot[i]--,ans=(ans*(LL)(prime[i]))%mod;printf("%lld",ans);}