[week 7][Leetcode][Dynamic Programming]Triangle

• Question:

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[     [2],    [3,4],   [6,5,7],  [4,1,8,3]]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, wheren is the total number of rows in the triangle. 

• Analysis:

这是关于动态规划的题，求最短路径问题。有两种解题思路：

1. 自上而下：也就是下一行的结果根据上一行的路径累计的结果来计算，由此得到状态转移方程为：triangle[i][j] += min(triangle[i-1][j],triangle[i-1][j+1])。这种从最顶端开始考虑的方法，需要另外讨论第一行和最后一行的结果。
2. 自下而上：也就是这一行的结果根据下一行的路径累计结果来进行计算，由此可以得到状态转移方程为：triangle[i][j] += min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1]).这种方法不用单独考虑第一行和最后一行的结果，如下代码是采用的第二种方法。

• Code:

class Solution {public:    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {        for (int i=triangle.size()-2;i>=0;i--)        {            for(int j=0;j<i+1;j++)            {                triangle[i][j] += min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1]);            }        }        return triangle[0][0];    }};