HDU 3501 数论 欧拉函数的应用

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题意：已知一个数n，求小于n且与其gcd不为1的所有数的和

思路：
首先第一感觉便是正难则反，可以先求小于n且与n互质的数的和。但是已知的欧拉函数是求个数的，但如何来求和呢？

这里涉及了一个公式：
Sum(n)=ϕ(n)∗n/2 

为什么有这个公式呢 其实理解起来很简单：

我们求两个数的GCD是常用的是辗转相除法，但同时还有一个古老的方法常被我们忽略，那就是：更相减损法

下面来自百度百科：

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

而该办法基于的原理便是 gcd(n,k)=gcd(k,n−k) (n>k)

故若有一个数 k < n 且 gcd(n,k) = 1
则一定存在 n-k，且 gcd(n,n-k) = 1
故当我们求所有 k的和时，可以两两分组，且每一组的和就是n

故有该公式 ： Sum(n)=ϕ(n)∗n/2 
（上述并不是严谨的证明，只是便于理解和记忆公式）

有了该公式，此题便很简单了~

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int mod = 1000000007;const int A = 1e5 + 10;bool vis[A];int pri[A],tot;void init(){    tot = 0;    vis[0] = vis[1] = 1;    for(int i=2 ;i<A ;i++){        if(vis[i] == 0) pri[++tot] = i;        for(int j=1 ;j<=tot&&pri[j]*i<A ;j++){            vis[pri[j]*i] = 1;            if(i%pri[j] == 0) break;        }    }}int main(){    init();    ll n;    while(~scanf("%I64d",&n) && n){        ll ans = (n*(n-1)/2)%mod;        ll res = n,m = n;        for(int i=1 ;i<=tot&&pri[i]*pri[i]<=n ;i++){            if(n%pri[i] == 0){                res = res/pri[i]*(pri[i]-1);                while(n%pri[i] == 0) n/=pri[i];            }        }        if(n!=1) res = res/n*(n-1);        //printf("%I64d\n",res);        ans = ans - res*m/2;        printf("%I64d\n",(ans%mod+mod)%mod);    }    return 0;}