密码学总结(二) 数学定理
来源:互联网 发布:java中可以加互斥锁 编辑:程序博客网 时间:2024/05/01 23:40
几个数学定理
下面要介绍的数学定理,都很重要,不过也很简单。
欧几里德算法以及扩展欧几里德算法 :
就是以前学过的辗转相除法,简而言之,a和b(a>b)的最大公约数,就是a模b的结果,和b求得的最大公约数(即gcd(a,b)=gcd(a mod b,b)),这个过程一直递归下去,直到a或b等于0,则非零的另一个数就是最大公约数。
而扩展欧几里德算法,则是说如果,对a,b以及二者的最大公约数,有ax+by=gcd(a,b),这里x,y可能有若干对。扩展欧几里德算法常用来求解多项式的逆元,这个我们之后会提到。
欧拉定理
设一个函数f(欧拉函数),f(n)的结果为比n小的,与n互质的数的个数,则对任意一个整数a,若gcd(a,n)=1,有a^f(n) mod n=1.
证明:
设集合X={x1,x2,.......,xf(n)},为与n互质,比n小的数的集合,共f(n)个而X'={a*x1 mod n,a*x2 mod n,........, a*xf(n) mod n} 共f(n)个因为gcd(a,n)==1,所以a*x 与n互质,又因为X'元素都比n小所以X=X'所以集合X中元素的乘积模n 结果等于 X'中元素的乘积模n提取出a的f(n)次方,两边消去X中元素的乘积得出a^f(n) mod n=1
欧拉定理有一个很有用的用处是求逆元,a*a^(f(n)-1) mod n=1,可以改写为a*b mod n=1,所以a在模n的有限域的乘法逆元b就等于 a^(f(n)-1) mod n
费马小定理
对于一个素数p,有a^(p-1) mod p=1
费马小定理是欧拉定理的一个特例,证明不再重复
中国剩余定理
有方程组:
求X的值
解法:
其中,M为若干个mi的乘积,ti为M/mi在有限域mi上的乘法逆元
所以,这个问题就分解成了求若干个乘法逆元、求积、求和的问题,而最难的求乘法逆元的方法,就是上面提到的欧拉定理
单变量线性同余
有ax=b mod n,求x
解:
求出gcd(a,n)=d,若d可被b整除,则有d个解,否则无解另a'=a/d,b'=b/d,n'=n/dx'=(a')^-1 * b' mod n'(这里(a')^-1 表示a' 在模n'的有限域内的乘法逆元)x0=x',xt=x0+n/d *t (mod n) t取值从0到d-1
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