[两道递推题] 美团 CodeM 初赛 Round A 二分图染色 & OEIS A001499

好久没做过n=107这种正常的递推题了

二分图染色

转化为棋盘模型，即 N×N 棋盘上放黑白棋子，每个格子至多放一个，同行同列没有相同颜色的棋子。
令bn为只有一种颜色，那么bn=∑ni=0Cin×Pin
然后我们考虑容斥掉两个颜色在同一格，如果一个格子既放黑又放白，那么这一列和这一行不会有其他棋子，直接删掉

an=∑i=0n(−1)iCinPin(bn−i)2

但是这个b不好直接求，考虑递推

bn=2nbn−1−(n−1)2bn−2

第一项是在第 n 行或者第 n 列上放一枚棋子或者不放的方案数，由于放两枚棋子的情况会
被统计两次，最后还需减去摆两枚棋子的方案数，即第三项。

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;#define read(x) scanf("%d",&(x))const int N=1e7+5;const int P=1e9+7;ll fac[N],inv[N];inline void Pre(int n){  fac[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%P;  inv[1]=1; for (int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(ll)(P-P/i)*inv[P%i]%P;  inv[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;}inline ll C(int n,int m){  return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}inline ll A(int n,int m){  return fac[n]*inv[n-m]%P;}int n; ll b[N];int main(){  freopen("t.in","r",stdin);  freopen("t.out","w",stdout);  read(n); b[0]=1; b[1]=2; for (int i=2;i<=n;i++) b[i]=(2LL*i*b[i-1]%P+P-(ll)(i-1)*(i-1)%P*b[i-2]%P)%P;  ll ans=0; Pre(n);  for (int i=0;i<=n;i++)    if (~i&1)      ans+=C(n,i)*A(n,i)%P*b[n-i]%P*b[n-i]%P;    else      ans+=P-C(n,i)*A(n,i)%P*b[n-i]%P*b[n-i]%P;  printf("%lld\n",ans%P);  return 0;}

OEIS A001499

Number of n X n matrices with exactly 2 1’s in each row and column, other entries 0.

考虑每列作为点，每行作为边把两个点连在一起，那么我们得到了若干边上带数字的环
我们先忽略边上的点，最后直接乘上 n!
直接递推咯

gn=∑i=2n(n−1i−1)×(i−1)!2gn−i

然后fn=gn×n!

fn=n!(n−1)!2∑i=2nfn−i((n−i)!)2

递推就好了