实变函数论知识点总结
来源:互联网 发布:手机网络延迟高怎么办 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 08:46
我一直想就我个人的体会和认识写个大学本科阶段各分析课程的历史, 知识总结以及有关数学家的八卦故事等. 等我有时间了, 再考虑吧.
下面就简单的总结一些实变函数论课程的知识点, 当然也是重点和考点, 积分收敛定理和各种收敛的关系是难点! 里面涉及的大部分定理在期末考题里都有有所体现. 期末试题已经出好, 成绩还和去年一样的计算方法: 卷面分*80%+平时成绩(作业和考勤). Good Luck! 谄笑
一个中心: 创立一套新的Lebesgue积分理论, 克服了Riemann积分的比如对微积分基本定理, Riemann可积, 积分与极限交换次序等过于苛刻的条件(如R可积函数基本上就是连续函数,这样的函数类当然太少了) , 得到了一系列漂亮简介而又非常实用的结果.
两个定义: 掌握测度和可测集的定义(区间的体积--开集的体积--任点集的外侧度--卡式条件可测集和测度) 以及可测集类, 可测集性质和n多充要条件; Lebesgue积分的定义(非负简单函数--非负函数--可测函数)以及初等性质(线性, 单调性, 可数可加性以及绝对连续性等).
三个原理: Littlewood三个原理"三个差不多nearly": 可测集与区间的有限并差不多(可测集的等价定义); 可测函数和连续函数差不多(Lusin定理); 可测函数列的收敛和一致收敛差不多(Egorov定理).
四个积分收敛定理: 主要讨论积分与极限交换次序的条件(注意前三个定理是积分与极限交换的充分条件,同时三者也是等价的, 最后的Vitali定理可交换次序的充要条件, 详见笔记). Levi定理, Fatou引理, Lebesgue控制收敛定理和Vitali收敛定理.
N种收敛的隐含关系: 一致收敛(最强), 几乎处处收敛, 近一致收敛, 测度收敛, 测度基本列, 子序列收敛, L范数收敛(平均收敛), 积分收敛等. 见各种收敛关系图!
微分理论: 最后讨论了在Lebesgue积分意义下的微分理论. 有界变差函数与绝对连续函数的定义和性质; 微积分基本定理等.
课程主页: http://www.prime.sdu.edu.cn/ghji/realanalysis.htm
下面就简单的总结一些实变函数论课程的知识点, 当然也是重点和考点, 积分收敛定理和各种收敛的关系是难点! 里面涉及的大部分定理在期末考题里都有有所体现. 期末试题已经出好, 成绩还和去年一样的计算方法: 卷面分*80%+平时成绩(作业和考勤). Good Luck! 谄笑
一个中心: 创立一套新的Lebesgue积分理论, 克服了Riemann积分的比如对微积分基本定理, Riemann可积, 积分与极限交换次序等过于苛刻的条件(如R可积函数基本上就是连续函数,这样的函数类当然太少了) , 得到了一系列漂亮简介而又非常实用的结果.
两个定义: 掌握测度和可测集的定义(区间的体积--开集的体积--任点集的外侧度--卡式条件可测集和测度) 以及可测集类, 可测集性质和n多充要条件; Lebesgue积分的定义(非负简单函数--非负函数--可测函数)以及初等性质(线性, 单调性, 可数可加性以及绝对连续性等).
三个原理: Littlewood三个原理"三个差不多nearly": 可测集与区间的有限并差不多(可测集的等价定义); 可测函数和连续函数差不多(Lusin定理); 可测函数列的收敛和一致收敛差不多(Egorov定理).
四个积分收敛定理: 主要讨论积分与极限交换次序的条件(注意前三个定理是积分与极限交换的充分条件,同时三者也是等价的, 最后的Vitali定理可交换次序的充要条件, 详见笔记). Levi定理, Fatou引理, Lebesgue控制收敛定理和Vitali收敛定理.
N种收敛的隐含关系: 一致收敛(最强), 几乎处处收敛, 近一致收敛, 测度收敛, 测度基本列, 子序列收敛, L范数收敛(平均收敛), 积分收敛等. 见各种收敛关系图!
微分理论: 最后讨论了在Lebesgue积分意义下的微分理论. 有界变差函数与绝对连续函数的定义和性质; 微积分基本定理等.
课程主页: http://www.prime.sdu.edu.cn/ghji/realanalysis.htm
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