Logistic分类函数

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这部分教程将介绍两部分：

• Logistic函数
• 交叉熵损失函数

如果我们利用神经网络进行分类，对于二分类问题，t=1或者t=0，我们能在logistic回归中使用logistic函数。对于多分类问题，我们使用softmax函数来处理多项式logistic回归。本教程我们先解释有关logistic函数的知识，后续教程会介绍softmax函数的知识。

我们先导入教程需要使用的软件包。

from __future__ import print_functionimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt

Logistic函数

假设我们的目标是根据输入的z去预测分类t。概率方程P(t=1|z)表示输出y根据logisitc函数y=σ(z)得到的值。σ被定义为：

logistic函数

根据函数分类的概率t=1或者t=0，我们能得到以下公式：

概率方程

注意一下，其实z就是P(t=1|z)与P(t=0|z)的比值求对数。

比值比

logistic函数在下面的代码中logistic(z)实现，并且可视化了logistic函数。

# Define the logistic functiondef logistic(z):  return 1 / (1 + np.exp(-z))

# Plot the logistic functionz = np.linspace(-6,6,100)plt.plot(z, logistic(z), 'b-')plt.xlabel('$z$', fontsize=15)plt.ylabel('$\sigma(z)$', fontsize=15)plt.title('logistic function')plt.grid()plt.show()

logistic函数

Logistic函数求导

因为神经网络一般使用梯度下降来优化，所以我们需要先求出y对于z的倒数，即∂y/∂z可以表示为：

梯度推导

因为1−σ(z))=1−1/(1+e^−z)=e−z/(1+e^−z)，所以我们又可以把上式简化为：

梯度推导

logistic_derivative(z)函数实现了Logistic函数的求导。

# Define the logistic functiondef logistic_derivative(z):  return logistic(z) * (1 - logistic(z))

# Plot the derivative of the logistic functionz = np.linspace(-6,6,100)plt.plot(z, logistic_derivative(z), 'r-')plt.xlabel('$z$', fontsize=15)plt.ylabel('$\\frac{\\partial \\sigma(z)}{\\partial z}$', fontsize=15)plt.title('derivative of the logistic function')plt.grid()plt.show()

logistic函数的梯度

对于logistic函数的交叉熵损失函数

模型的输出结果y=σ(z)可以被表示为一个概率y，如果t=1，或者概率1-y，如果t=0。我们把这个记为P(t=1|z)=σ(z)=y。

在神经网络中，对于给定的一组参数θ，我们可以使用最大似然估计来优化参数。参数θ将输入的样本转化成输入到Logistic函数中的参数z，即z = θ * x。最大似然估计可以写成：

最大似然估计

因为对于给定的参数θ，去产生t和z，根据联合概率我们又能将似然函数L(θ|t,z)改写成P(t,z|θ)。由于P(A,B) = P(A|B) ∗ P(B)，我们又可以简化联合概率：

联合概率

因为我们不关心有关z的概率，所以我们可以把原来的似然函数改写成：

似然函数

因为t服从伯努力分布，而且如果给定参数θ，那么P(t|z)=y就是一个确定的值，因此我们又可以改写概率方程：

概率方程

由于对数函数是单调递增函数，我们可以依此优化对数似然函数

似然函数

该函数的最大值和常规的似然函数的最大值一样，所以我们计算对数似然函数如下，

对数似然函数

我们最小化这个负对数似然函数，等价于最大化似然函数。一个典型的误差函数可以设计为如下交叉熵误差函数：

交叉熵误差函数

这个函数可能看起来比较复杂，但是如果我们把它拆分开来看，就会比较简单。

交叉熵误差函数

从上式中我们可以发现，如果样本被正确分类，那么损失函数L(t,y)和负对数概率函数在表达式上面是一样的，即

损失函数和误差函数对比

因为t只能取值0或者1，所以我们能将L(t, y)写为：

对数概率函数

如果你要分析每一个训练数据，那么就是下式：

对数概率函数

另一个我们使用交叉熵函数的原因是，在简单Logistic回归中，交叉熵函数是一个凸损失函数，全局最小值很容易找到。

对于logistic函数的交叉熵损失函数的求导

对于损失函数∂ξ/∂y求导，计算如下：

损失函数求导

现在，我们对输入参数z进行求导将变得很容易。

参数求导

至此，完整求导完成。