任意阶幻方的解法及c++实现

任意阶幻方的解法及c++实现

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

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奇数阶幻方（罗伯法）

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：
把1（或最小的数）放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：

1、每一个数放在前一个数的右上一格；
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例：用该填充方法获得的五阶幻方

双偶数阶幻方（对称交换法）

所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 n×n＋1），我们称它们为一对互补数 。如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数 ；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数 。

1. 4阶幻方
   （1） 将数字从上到下，从左到右依次填入：
   
   （2） 将对角线上元素换成其互补数：
   
2. 8阶幻方
   （1） 将数字从上到下，从左到右依次填入，并按2*2把它分成4块奇数阶幻方：
   
   （2） 每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数：
   

单偶数阶幻方（象限对称交换法）

阶数n满足：n=4*k+2
此处以n=10为例，10＝4×2＋2，则k=2

（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限都是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

（2）从A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数互换位置。

（3）从B象限的最中间列开始，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)， 将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。

C++实现

代码:

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>using namespace std;#define maxn 256int m[maxn][maxn];void OddMagic(int n)                         //奇数阶幻方{    memset(m,0,sizeof(m));                   //幻方清零    int x=0, y=n/2;    for(int i=1; i<=n*n; i++)    {        m[x][y]=i;        x--;                                 //依次沿右上角填充        y++;        if(x<0 && y>n-1) {x=x+2; y=y-1;}     //沿对角线超出        else if(x<0) x=x+n;                  //沿上边界超出        else if(y>n-1) y=y-n;                //沿右边界超出        else if(m[x][y]!=0) {x=x+2; y=y-1;}  //右上角已填充    }}void DoubleEvenMagic(int n)                  //双偶数阶幻方{    memset(m,0,sizeof(m));                   //幻方清零    for(int i=1, x=0, y=0; i<=n*n; i++)      //依次按顺序赋初值    {        m[x][y]=i;        y++;        if(y>n-1) {x++; y-=n;}    }    for(int i=0; i<n; i++)                   //将幻方分解成m*m个4阶幻方，并将每个4阶幻方的对角线元素换成其互补数        for(int j=0; j<n; j++)            if(i%4==0 && j%4==0)             //左对角线                for(int k=0; k<4; k++)                    m[i+k][j+k]=(n*n+1)-m[i+k][j+k];            else if(i%4==3 &&j%4==0)         //右对角线                for(int k=0; k<4; k++)                    m[i-k][j+k]=(n*n+1)-m[i-k][j+k];}void SingleEvenMagic(int n)                  //单偶数阶幻方{    memset(m,0,sizeof(m));                   //幻方清零    int n0=n/2;    OddMagic(n0);                            //将幻方分解成2*2个奇数阶幻方，调用奇数阶幻方函数填充左上角奇数阶幻方    for(int i=0; i<n0; i++)        for(int j=0; j<n0; j++)        {            m[i+n0][j+n0]=m[i][j]+n0*n0;       //填充右下角奇数阶幻方            m[i][j+n0]=m[i+n0][j+n0]+n0*n0;     //填充右上角奇数阶幻方            m[i+n0][j]=m[i][j+n0]+n0*n0;       //填充左下角奇数阶幻方        }    int k=(n-2)/4;                             //满足公式n=4*k+2    for(int i=0; i<n0; i++)        for(int j=0; j<k; j++)            if(i==n0/2) swap(m[i][i+j],m[i+n0][i+j]);   //将左上角幻方最中间元素从左向右的k个元素与左下角幻方相应位置元素交换            else swap(m[i][j],m[i+n0][j]);              //将左上角幻方除最中间行外的每行前k个元素与左下角幻方相应位置元素交换    for(int i=0; i<n0; i++)        for(int j=n0+n0/2; j>n0+n0/2-(k-1); j--)            swap(m[i][j],m[i+n0][j]);                   //将右上角幻方最中间列起从右向左的k-1列元素与右下角幻方相应位置元素交换}bool Check(int n){    int cnt=n*(n*n+1)/2;                                //每行每列以及对角线之和    for(int i=0; i<n; i++)    {        int sum_row=0,sum_line=0;        for(int j=0; j<n; j++)            {                sum_row+=m[i][j];                       //检查各行                sum_line+=m[j][i];                      //检查各列            }        if(sum_row!=cnt || sum_line!=cnt) return false;    }    int sum_left=0,sum_right=0;    for(int i=0; i<n; i++)    {        sum_left+=m[i][i];                              //检查左对角线        sum_right+=m[n-i-1][i];                         //检查右对角线    }    if(sum_left!=cnt || sum_right!=cnt) return false;    return true;}void print(int n)                                       //按格式输出{    for(int i=0; i<n; i++)        for(int j=0; j<n; j++)            if(j==n-1) printf("%4d\n",m[i][j]);            else printf("%4d",m[i][j]);}int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    int n;    while(cin>>n)    {        if(n<3) cout<<"Impossible"<<endl;        else if(n&1) {OddMagic(n); if(Check(n)) print(n);}                    //输出奇数阶幻方        else if(!(n%4)) {DoubleEvenMagic(n); if(Check(n)) print(n);}     //输出双偶数阶幻方        else {SingleEvenMagic(n); if(Check(n)) print(n);}                //输出单偶数阶幻方    }    return 0;}