树状数组

　　树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组a[1..n]，
　　那么查询a[1]+...+a的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，
　　支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。
　　来观察这个图：
　　令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：
　　C1 = A1
　　C2 = A1 + A2
　　C3 = A3
　　C4 = A1 + A2 + A3 + A4
　　C5 = A5
　　C6 = A5 + A6
　　C7 = A7
　　C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
　　...
　　C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
　　这里有一个有趣的性质，下午推了一下发现：
　　设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，
　　所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An
　　算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：
　　int lowbit(int x){
　　return x&(x^(x–1));
　　}
　　当想要查询一个SUM(n)时，可以依据如下算法即可：
　　step1:　令sum = 0，转第二步；
　　step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；
　　step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。
　　可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：
　　n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。
　　那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。
　　所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：
　　step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；
　　step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。
　　i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。
　　对于数组求和来说树状数组简直太快了!




以上资料来自baidu百科

PKU有2题树状数组的题


PKU 1195 Mobile phones(2维的~)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1195

PKU 3321 Apple Tree(结合图来求解)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3321

3321需要先o(n)的dfs处理以后才可以使用树状数组
还有就是需要自己写表来构树。。vector=TLE....

lowbit这么写也可以: x&(x^(x-1))

1. #include<iostream>
2. #include<vector>
3. using namespace std;
4. #define lowbit(x) ((x)&(~(x)+1))
5. struct Node
6. {
7.     int cnt,id;
8. }node[100001];
9. int n,ans[1000001],id,C[1000001],sum[1000001],BUF;
10. struct Next
11. {
12.     int next,val;
13. }next[2000001];
14. bool flag[1000001];
15. int dfs(int x)
16. {
17.     int i,tmp,cid,nex;
18.     flag[x]=true;
19.     tmp=node[x].cnt;
20.     for(nex=next[x].next;nex!=-1;nex=next[nex].next)
21.         if(!flag[next[nex].val])tmp+=dfs(next[nex].val);
22.     ++id;
23.     node[x].id=id;
24.     return ans[id]=tmp;
25. }
26. int gsum(int x)
27. {
28.     int ret=0;
29.     while(x>0)
30.     {
31.         ret+=C[x];
32.         x-=lowbit(x);
33.     }
34.     return ret;
35. }
36. void update(int x,int val)
37. {
38.     while(x<=n)
39.     {
40.         C[x]+=val;
41.         x+=lowbit(x);
42.     }
43. }
44. int main()
45. {
46.     int a,b,i,m,tval,nex;
47.     char c;
48.     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
49.     {
50.         for(i=1;i<=n;i++)node[i].cnt=1;
51.         memset(ans,0,sizeof(ans));
52.         memset(flag,false,sizeof(flag));
53.         for(i=1;i<=n;i++)next[i].next=-1;
54.         BUF=1000001;
55.         id=0;
56.         for(i=1;i<n;i++)
57.         {
58.             scanf("%d%d",&a,&b);
59.             nex=a;
60.             next[a].val=a;
61.             while(nex!=-1)
62.             {
63.                 if(next[nex].next==-1)break;
64.                 nex=next[nex].next;
65.             }
66.             next[nex].next=++BUF;
67.             next[BUF].val=b;
68.             next[BUF].next=-1;
69.             nex=b;
70.             next[b].val=b;
71.             while(nex!=-1)
72.             {
73.                 if(next[nex].next==-1)break;
74.                 nex=next[nex].next;
75.             }
76.             next[nex].next=++BUF;
77.             next[BUF].val=a;
78.             next[BUF].next=-1;
79.         }
80.         dfs(1);
81.         memset(sum,0,sizeof(sum));
82.         for(i=1;i<=n;i++)sum[i]=i;
83.         for(i=1;i<=n;i++)C[i]=sum[i]-sum[i-lowbit(i)];
84.         scanf("%d%*c",&m);
85.         while(m--)
86.         {
87.             scanf("%c %d%*c",&c,&id);
88.             if(c=='Q')
89.             {
90.                 printf("%d/n",gsum(node[id].id)-gsum(node[id].id-ans[node[id].id]));
91.             }
92.             else
93.             {
94.                 tval=(node[id].cnt==1?-1:1);
95.                 node[id].cnt=(node[id].cnt==0?1:0);
96.                 update(node[id].id,tval);
97.             }
98.         }
99.     }
100.     return 0;
101. }