树状数组

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组a[1..n]，

　　那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，

　　支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

　　来观察这个图：

 

　　令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

　　C1 = A1

　　C2 = A1 + A2

　　C3 = A3

　　C4 = A1 + A2 + A3 + A4

　　C5 = A5

　　C6 = A5 + A6

　　C7 = A7

　　C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

　　...

　　C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

　　这里有一个有趣的性质：

　　设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

　　所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

　　算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

　　int lowbit(int x){

      //　　return x&(x^(x–1));

       return x&(-x);

　　}

　　当想要查询一个SUM(n)时，可以依据如下算法即可：

　　step1:　令sum = 0，转第二步；

　　step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

　　step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

　　可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

　　n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

　　那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

　　所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

　　step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

　　step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

　　i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

　　对于数组求和来说树状数组简直太快了!

典题分析

　　【例】数列操作
给定一个初始值都为0的序列,动态地修改一些位置上的数字,加上一个数,减去一个数,或者乘上一个数,然后动态地提出问题,问题的形式是求出一段数字的和.

　　

　　【算法分析】

　　如果直接做的话,修改的复杂度是O(1),询问的复杂度是O(N),M次询问的复杂度是M*N.M,N的范围可以有100000以上,所以这样做会超时,但是如果用线段树的话,还是很不错的!

　　线段树解法分析:

　　可以看出,这棵树的构造用二分便可以实现.复杂度是2*N.

　　每个结点用数组a来表示该结点所表示范围内的数据之和.

　　修改一个位置上数字的值,就是修改一个叶子结点的值,而当程序由叶子结点返回根节点的同时顺便修改掉路径上的结点的a数组的值.

　　对于询问的回答,可以直接查找i..j范围内的值,遇到分叉时就兵分两路,最后在合起来.也可以先找出0..i-1的值和0..j的值,两个值减一减就行了.后者的实际操作次数比前者小一些.

　　这样修改与维护的复杂度是logN.询问的复杂度也是logN,对于M次询问,复杂度是MlogN.

　　然而不难发现,线段树的编程复杂度大,空间复杂度大,时间效率也不高!!!!

　　所以我们来想用树形数组来实现:

　　那么,何为树形数组呢??

　　下图中的C数组就是树状数组,a数组是原数组;

　　对于序列a，我们设一个数组C定义C[t] = a[t – 2^k + 1] + … + a[t]，k为t在二进制下末尾0的个数。

　　K的计算可以这样:

　　2^k=t and (t xor (t-1))

　　以6为例

　　(6)10=(0110)2

　　xor 6-1=(5)10=(0101)2

　　(0011)2

　　and (6)10=(0110)2

　　(0010)2

　　所以问题变的很简单,重要写几个函数就可以了;

　　求2^k的函数代码如下:

　　int Lowbit(int t)

　　{

　　return t & ( t ^ ( t - 1 ) );

　　}

　　Function Lowbit(t: longint): longint;

　　Begin

　　Lowbit := t and (t xor (t - 1));

　　End;

　　求1 -- end和的函数代码如下:

　　int Sum(int end)

　　{

　　int sum = 0;

　　while (end > 0)

　　{

　　sum += in[end];

　　end -= Lowbit(end);

　　}

　　return sum;

　　}

　　Function Sum(tail: longint): longint;

　　Var

　　s: longint;

　　Begin

　　s:=0;

　　while tail > 0 do

　　begin

　　inc(s, in[tail]);

　　dec(tail, Lowbit(tail));

　　end;

　　sum := s;

　　End;

　　对某位进行操作函数如下(以加法为例)

　　void plus(int pos , int num)

　　{

　　while(pos <= n)

　　{

　　in[pos] += num;

　　pos += Lowbit(pos);

　　}

　　}

　　Procedure plus(p, num: longint);

　　Begin

　　while p <= n do

　　begin

　　inc(in[p], num);

　　inc(p, Lowbit(p));

　　end;

　　End.

　　有了这三个函数整个树形数组也就基本构建成功啦!!

　　对于刚才的一题,每次修改与询问都是对C数组做处理.空间复杂度有3N降为N,时间效率也有所提高.编程复杂度更是降了不少.

　　对于lowbit可有优化 P :lowbit:=X AND(not x); C: lowbit:=x &(-x);

与线段树的比较

　　树状数组是一个可以很高效的进行区间统计的数据结构。在思想上类似于线段树，比线段树节省空间，编程复杂度比线段树低，但适用范围比线段树小。

　　以简单的求和为例。设原数组为a[1..N]，树状数组为c[1..N]，其中c[k] = a[k-(2^t)+1] + ... + a[k]。比如c[6] = c[5] + c[6]。也就是说，把k表示成二进制1***10000，那么c[k]就是1***00001 + 1***00010 + ... + 1***10000这一段数的和。设一个函数lowestbit(k)为取得k的最低非零位，容易发现，根据上面的表示方法，从a[1]到a[k]的所有数的总和即为sum[k] = c[k] + c[k-lowestbit(k)] + c[k-lowestbit(k)-lowestbit(k-lowestbit(k))] + ... 于是可以在logk的时间内求出sum[k]。当数组中某元素发生变化时，需要改动的c值是c[k],c[k+lowestbit(k)], c[k+lowestbit(k)+lowestbit(k+lowestbit(k))] ... 这个复杂度是logN (N为最大范围)

　　扩展到多维情况：以二维为例，用c[k1][k2]表示c[k1-(2^t1)+1][k2-(2^t2)+1] + ... + c[k1][k2]的总和。可以用类似的方法进行处理。复杂度为(logn)^k (k为维数)

　　树状数组相比线段树的优势：空间复杂度略低，编程复杂度低，容易扩展到多维情况。劣势：适用范围小，对可以进行的运算也有限制，比如每次要查询的是一个区间的最小值，似乎就没有很好的解决办法。

　　多维情况的几道题目:

　　POJ 2155 Matrix

　　URAL 1470 UFOs

　　其中POJ 2155是一道很不错的题目，表面上看，这题的要求似乎和树状数组的使用方法恰好相反，改变的是一个区间，查询的反而是一个点。实际上可以通过一个转化巧妙的解决。

　　首先对于每个数A定义集合up(A)表示{A, A+lowestbit(A), A+lowestbit(A)+lowestbit(A+lowestbit(A))...} 定义集合down(A)表示{A, A-lowestbit(A), A-lowestbit(A)-lowestbit(A-lowestbit(A)) ... , 0}。可以发现对于任何A<B，up(A)和down(B)的交集有且仅有一个数。

　　于是对于这道题目来说，翻转一个区间[A,B]（为了便于讨论先把原问题降为一维的情况），我们可以把down(B)的所有元素的翻转次数+1，再把down(A-1)的所有元素的翻转次数-1。而每次查询一个元素C时，只需要统计up(C)的所有元素的翻转次数之和，即为C实际被翻转的次数。

　　实际实现时，由于只考虑奇偶，因此无须统计确切的翻转次数。另外，如果翻转up(A)和up(B+1)，查询down(C)，也是同样的效果。这种方法可以很容易地扩展到二维情况。比起线段树、四分树之类的常规思路，无论编程复杂度还是常数速度上都有很大优势。

 

 

 

 

树状数组(Binary Indexed Tree)是又一种静态的树结构。它的首要用途是用于维护前缀和，也即：一数组a[1..n]，随时会改变其中某a[i]，还会询问s[i]=a[1]+a[2]+…+a[i]，树状数组可完美解决这一问题。

定义数组c[0..n]，其中c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-a^k+2]+…+a[i]，其中k为i在二进制下末尾0的个数。当我们改变一个a[i]时，会有很多c[i]随之改变；若需查询某个s[i]，需要累加多个c[i]。好在确定需要改变或累加的元素都可以用比较简便的方法得出，这方法的核心就是lowbit值。

定义lowbit(x)=x&(x^(x-1))，它相当于将最右边的1左边的东西全部去掉。若需改变a[i]，则c[i]、c[i+lowbit(i)]、c[i+lowbit(i)+lowbit(i+lowbit(i)]……就是需要改变的c数组中的元素。若需查询s[i]，则c[i]、c[i-lowbit(i)]、c[i-lowbit(i)-lowbit(i-lowbit(i))]……就是需要累加的c数组中的元素。这看上去有些玄妙，我觉得其实也可以不用透彻理解。

一维的树状数组的每个操作的复杂度都是O(logn)的，非常高效。它可以扩充为n维，这样每个操作的复杂度就变成了O((logn)^n)，在n不大的时候仍然完全可以接受。扩充的方法就是将原来改变和查询的函数中的一个循环改成嵌套的n个循环在n维的c数组中操作。

要注意树状树组能处理的是下标为1..n的数组，绝对不能出现下标为0的情况。因为lowbit(0)=0，这样会陷入死循环。对于我这个从来都用C语言思考的家伙来说，这一点格外需要注意。

似乎树状数组也可以用来解决一些与前缀和关联不大的问题，例如NOI2004的cashier，但我还不太会（那题我只会用平衡树或线段树或虚二叉树解）。

示例程序：ural1470.cpp（三维的树状数组）

April 18, 2007 · Filed under 程序园