Bellman-Ford 算法

问题描述

相比较于Dijkstra算法， 这个有向图中存在权值为负的边， 同时不存在总cost为负的环（否则可以无限循环这个环实现cost下降），求单源到所有其他点的最短路径问题。

解思路

假设从原点s 到 点 vk 存在一条路径为 <s,v0,v1,v2,v3,...,vk>的最短路径，则依次进行relax操作<s,v0>,<v0,v1>,...<vk−1,vk>就可以使得这条最短路径成立。因此，只需对所有边进行至多|V|-1次relax，就能使得最短路径延伸至所有顶点。

伪代码

1 BELLMAN-FORD(G, w, s)2   INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)3   for i  1 to |V[G]| - 14        do for each edge (u, v)  E[G]5             do RELAX(u, v, w)6   # 检查是否存在权值为负的环7   for each edge (u, v)  E[G]8        do if d[v] > d[u] + w(u, v)9             then return FALSE10   return TRUE

注意上面的代码中， 进行了|V|-1次relax之后，如果不存在权值为负的环，则所有的d[u], d[v]都已经是最短路径值，故不会存在d[v] > d[u] + w(u, v)使得d[v]可以更新为d[u]+w(u, v)