关于采样与DFT的一点点思考

直观分析：

一个带限的模拟信号，要想通过采样恢复原始信号，遵守奈奎斯特采样定理即可。奈奎斯特采样定理是说，采样率要不小于最高频率分量的两倍，换句话说，就是采样间隔必须要不大于最高频率分量对应的周期长度的一半。我们想想，对于单个整周期的余弦信号，要想完全知道这个余弦信号，最少要在这个周期上取两个点（最特殊的情况，0

点取一个，π点取一个）就可以恢复出来这个余弦信号了。只要采样率满足奈奎斯特定理，那么即使是变化最快（最高频分量）的余弦成分也可以被恢复出来，那么这个模拟信号就可以完全重构了。

另一种思考：对于一个周期信号，周期为T，那么基频分量也就是周期为T的余弦信号，此时对应的角频率是2π/T，是所有余弦分量里角频率最小的一个频率分量，除此之外，还有一个直流分量，暂不考虑。那么最大角频率分量自然就是最高频分量，假设最高频率是fm，则对应的角频率是2π*fm/s，一般无线通信系统中该数值都是远大于2π的。对模拟信号进行采样，得到离散的采样序列。如果采样率是fs，是说1s内采样fs个点，那么采样角频率就是2π*fs。原始模拟信号，最高角频率2π*fm/s，对他用fs采样率进行采样，意思就是将这个角频率2π*fm/s平均分成fs份，当fs恰好等于2fm时，这时将最高角频率2π*fm/s平均分成2fm份，每份对应角度为π，也就是一个周期的最高频率的余弦函数上，我正好取了两个点，那么这个最高频率分量对应的余弦函数可以被精确表示出来了。对于那些比fm要低的频率为f（0~fm）的谱成分，则同样是将各自的一个角频率2π*f/s平均分成2fm份，每份对应的角度为（f/fm）*π，范围对应到0~π。由此可见，当采样率远大于奈奎斯特采样频率2fm时，即使是最高角频率对应的余弦分量，每个整周期也被采样远大于2个点的个数，则更能精确恢复最高频率分量了，也就是每份对应的角度小于π。

上述中每份对应的角度值就是数字角频率，根据原始信号中所具有的频谱分量和对该原始信号的采样率，计算得到。采样率固定后，原始信号中的越高的频率分量，每份对应的角度越大，原始信号中越低的频率分量，每份对应的角度越小。至于这个每份对应的角度也是有一个范围的，这个范围就是（2π*最低频率分量/采样率，2π*最高频率分量/采样率）,这个范围就是所要分析的数字角频率的范围，也就是说，不同的数字角频率，对应的是对不同的频率分量的采样角频率，要想分析特别高的频谱分量，就必须特别快速的采样才行，这时采样角频率就很高，对应的就是DTFT曲线上的靠右边的数字角频率。

第三种思考：DFT是将离散信号投影到不同频率下的离散复指数信号上，求投影系数。这不同频率就是上文中的每份对应的角度。N点离散信号做N点DFT，相当于隐含了N就是离散周期，或者隐含了采样了原始信号的一个周期上的信号，一个周期采了N点，采样率是N。因为是求N个频点上对应的能量，因此是对N个不同的角频率下的复指数函数进行的采样，这几个频率是2π*fmin/N，2π*(deltaf+fmin)/N，2π*(2*deltaf+fmin)/N，2π*(3*deltaf+fmin)/N，...,2π*((N-1)deltaf+fmin)/N，其中deltaf=(fmax-fmin)/N.这就对应到了DFT公式中的(2π/N)*K(假设fmin=0).实际中采样率远大于2fmax，若刚好等于2fmax，且采了2fmax个点，那么频率分辨率是0.5，若采了fmax个点，也就是说只采了半个周期，那么做fmax点的DFT，只能得到信号在fmax个不同的复指数函数上的投影，这fmax个不同的复指数函数的频率分别是2π*fmin/N，2π*(deltaf+fmin)/N，2π*(2*deltaf+fmin)/N，2π*(3*deltaf+fmin)/N，...,2π*(fmax*deltaf+fmin)/N，其中deltaf=(fmax-fmin)/N,这时，若N=2fmax，fmin=0，那么正好分析到数字角频率是π/2时，频率分辨率还是0.5，只不过只分析到了0.5*fmax，漏掉了一半的频谱没有分析到，因此必须在至少一个整周期上采样才可以在全频谱上对信号进行均匀谱分析。

第四种思考：因为DFT是将离散信号投影到不同频率下的离散复指数信号上，那么可以投影到哪些频率下的离散复指数信号上呢，离散复指数信号exp(jWn)=exp（i(W+2πK)n），如果希望投影到全部频率上，则只需要分析频率在0~2π上的复指数信号就可以，频率超出2π后，仍然是0~2π内的某个复指数信号。那么在0~2π上的所有频率点对应的复指数信号的投影对应的是对离散信号做傅里叶变换，并且变成了连续傅里叶变换，而离散傅里叶变换相当于对0~2π上的连续傅里叶变换进行的等间隔采样，做多少点DFT，就等间隔采样多少个点。因此，采样点数越多，间隔越小，分辨率越高。

（待修正）