【剑指offer】面试题 10：斐波那契数列及其推广

题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。

n<=39

时间限制：1秒 空间限制：32768K 热度指数：153571

思路

1、用递归来实现，但是递归存在调用栈溢出的风险。

调用栈溢出是因为递归的计算中，每次函数调用在内存栈中分配空间，而每个进程的栈的容量都是有限的。

当递归调用的层级太多时，就会超出栈的容量，从而导致调用栈的溢出。

2、从下往上计算。根据 f(0) 和 f(1) 算出 f(2)，再根据 f(1) 和 f(2) 算出 f(3)...以此类推，就可以算出 f(n)。

时间复杂度是 O(n).

参考代码

Python实现

# -*- coding:utf-8 -*-class Solution:    def Fibonacci(self, n):        # write code here        tempArray = [0, 1]        if n <= 0:            return 0        elif n == 1:            return 1        elif n == 2:            return 1        else:            for i in range(2, n + 1):                tempArray[i % 2] = tempArray[0] + tempArray[1]            return tempArray[i % 2]

题目推广

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级台阶。求问该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

思路

其实这是一个斐波那契数列的应用。青蛙要跳上 1 级台阶时，有 1 种跳法；青蛙要跳上 2 级台阶时，有 2 种跳法；

（第一种：先跳 1 级，再跳 1 级；第二种：直接跳 2 级）

这可以抽象为：要跳 n 级，先跳 1 级，再考虑跳 n - 1 级；先跳 2 级，再考虑跳 n - 2 级。

所以跳 n 级的跳法：f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)，这就是斐波那契数列的公式。

参考代码

# -*- coding:utf-8 -*-class Solution:    # 青蛙跳台阶, 每次可以跳1级或2级    def jumpFloor(self, number):        # write code here        tempArray = [1, 2]        if number >= 3:            for i in range(3, number + 1):                tempArray[(i + 1) % 2] = tempArray[0] + tempArray[1]        return tempArray[(number + 1) % 2]

题目推广

将上题中的条件改为“一次可以跳上 1 级台阶，一次也可以跳上 2 级台阶，...，一次也可以跳上 n 级台阶”，求青蛙跳

上 n 级台阶的跳法？

思路

青蛙跳 1 级台阶的跳法是 f(1) = 1

青蛙跳 2 级台阶的跳法是 f(2) = 1 + f(1) = 2

青蛙跳 3 级台阶的跳法是 f(3) = 1 + f(1) + f(2) = 4

....

青蛙跳 n 级台阶的跳法是 f(n) = 1 + f(1) + f(2) + ... + f(n - 1) = 2^(n - 1)

其中：1 表示一次性跳上 n 级台阶的方法

参考代码

# -*- coding:utf-8 -*-class Solution:    # 可以跳 1 级，也可以跳 2 级，... ，也可以跳 n 级    def jumpFloorII(self, number):        ans = 1        if number >= 2:            for i in range(number-1):                ans = ans * 2        return ans

总结

1、遇到需要多次重复计算的问题，通常是用递归或循环两种方法来实现的；

2、递归：在一个函数的内部调用这个函数本身；

3、循环：通过设置计算的初始值及终止条件，在一个范围内重复运算；

4、想要算法 / 代码简单，用递归；

5、递归会产生调用栈溢出，原因是递归调用的层级太多，会超过调用栈的容量；

6、面试优先写出递归算法，实现简单；

7、面试官要求改进算法，再使用循环实现；