【JZOJ100019】A

Description

Solution

结论1：∑ni=1ni=n ln n

结论2：给一棵树前序遍历，一颗子树的在dfs序上是连续的。

然后我们枚举起点，枚举不能通过的点，那么有些点对是不合法的。

有以下两种情况：

第一种（如左图）是两个点互不包含：a节点所在dfs序上所包含的区间为[la,ra]，k*a节点为[lk∗a,rk∗a]，那么这两个区间的点对是不能互相到达的，即他们不互相到达的两个区间构成了一个左下角为(la,lk∗a)，右上角为[ra,rk∗a]矩形。

第二种（如右图）是包含的情况，那么k*a点为一个区间[lk∗a,rk∗a]，不能通过的点不是一个区间。
我们可以发现，除去b点（在a，b路径上且是a的儿子）的子树，那么剩余的就是不能通过的，也就是两个区间：[1,lb)，(rb,n]。

于是构造出所有矩形，求矩形覆盖的面积就是不合法路径的方案，用总数减去即可。
求矩形覆盖面积可以用扫描线+线段树。

Solution

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)#define rep(i,x) for(int i=ls[x];i;i=nx[i])#define N 100010#define M 200010#define ll long longusing namespace std;int to[M],nx[M],ls[N],num=0;void link(int x,int y){    to[++num]=y,nx[num]=ls[x],ls[x]=num;}int dep[N],fa[N][18],L[N],R[N],dfn=0;int lg[N];void pre(int x){    L[x]=++dfn;    rep(i,x)    {        int v=to[i];        if(v==fa[x][0]) continue;        fa[v][0]=x;        dep[v]=dep[x]+1;        pre(v);    }    R[x]=dfn;}int jump(int u,int v){    if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);    fd(i,lg[dep[u]-dep[v]+1],0)    if(dep[fa[u][i]]>dep[v]) u=fa[u][i];    return u;}struct node{    int x,l,r;    int w;}b[N*50];struct tree{    int x,lz;}tr[N*8];int tot=0;void putin(int x,int y,int p,int q){    if(x>p) swap(x,p);    if(y>q) swap(y,q);    if(p<y) swap(x,y),swap(p,q);    b[++tot].x=x,b[tot].l=y,b[tot].r=q,b[tot].w=1;    b[++tot].x=p+1,b[tot].l=y,b[tot].r=q,b[tot].w=-1;}bool cmp(node x,node y){    return x.x<y.x;}void add(int v,int l,int r,int x,int y,int p){    if(l==x && r==y)    {        tr[v].lz+=p;        if(tr[v].lz) tr[v].x=r-l+1;        else tr[v].x=tr[v*2].x+tr[v*2+1].x;        return;    }    int mid=(l+r)/2;    if(y<=mid) add(v*2,l,mid,x,y,p);    else if(x>mid) add(v*2+1,mid+1,r,x,y,p);    else add(v*2,l,mid,x,mid,p),add(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y,p);    if(tr[v].lz) tr[v].x=r-l+1;    else tr[v].x=tr[v*2].x+tr[v*2+1].x;}int main(){    freopen("a.in","r",stdin);    freopen("a.out","w",stdout);    int n;    scanf("%d",&n);    fo(i,2,n)    {        int x,y;        scanf("%d %d",&x,&y);        link(x,y),link(y,x);        lg[i]=log2(i);    }    dep[1]=1;    pre(1);    fo(j,1,lg[n])    fo(i,1,n) fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];    fo(i,1,n)    fo(j,2,n/i)    {        int p=i,q=i*j;        if(L[p]>L[q]) swap(p,q);        if(L[p]<=L[q] && R[q]<=R[p])        {            int qson=jump(p,q);            int p1=p,q1=q;            if(L[qson]>1) putin(L[q],1,R[q],L[qson]-1);            if(R[qson]<n) putin(L[q],R[qson]+1,R[q],n);        }        else putin(L[p],L[q],R[p],R[q]);    }    sort(b+1,b+tot+1,cmp);    ll ans=n*1ll*(n-1)/2;    int c=0;    fo(i,1,n)    {        while(b[c+1].x==i && c<tot) c++,add(1,1,n,b[c].l,b[c].r,b[c].w);        ans-=tr[1].x;    }    printf("%lld",ans);}