leetcode之Median of Two Sorted Arrays问题

问题描述：

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

题目示例：

Example 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

问题来源：Median of Two Sorted Arrays （详细地址：https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/#/description）

问题一般化：由于本题考虑的仅仅是中位数，扩展开来，我们可以考虑任意一个第k小的数，这样将问题一般化，以便编写大型程序时的模块化处理。

思路：本题的difficulty标记为hard，可想而知还是有一点难度的，个人觉得难点主要是时间复杂度的限制，要求时间复杂度为O（log(m+n)）。相反，如果不考虑时间复杂度的话，我们可以考虑一下的方法：

方法一：将两个数组合并，排序好之后，然后直接取下标为k-1的数即可，即为题目要求的第k小的数；

方法二：动用两个指针，一个指向(p1)数组nums1，另外一个(p2)指向数组nums2，比较两个指针当前指向的数值的大小，同时动用一个计数器count,比较之后，谁的数值小谁就               往前移。计数器加一，直到count的值加到k则遍历结束。

上面两种方法其实都不符合题意，最后在下面这篇文章找到了正确答案（Median of Two Arrays）。原文用的是英文解释和表述的，并且给出了相应的证明，本人只负责简单的翻译一下。

假定两个数组中的数组个数均多于k/2个(代码中解释为什么多余k/2个，暂时先往下看吧)，咱们分别把两个数组中的第k/2-1个取出来，分别记作A[k/2 - 1]和B[k/2 -1],把他们进行比较，有三个结果（这不是废话吗？）

A[k/2 - 1]  <  B[k/2 - 1]

A[k/2 - 1]  =  B[k/2 - 1]

A[k/2 - 1]  >  B[k/2 - 1]

下面考虑第一种情况，A的第k/2个数（数组下标为k/2 - 1）比B的第k/2个数要小，说明当A和B合并之后，A的下标从0到k/2 - 1之间的数都不可能是第K大的数,显然咱们可以将它们剔除掉，有些人可能立马就想到了，这不就是二分查找的思想吗？我可以说是的，就是这么个意思。大于的情况是一样讨论的；等于的话打就更好了，不就直接就找到了吗？免得那么麻烦。有人可能现在产生疑惑了，奇数个和偶数个需要分开来讨论吗？其实是没必要的，合并之后是奇数个的话咱们直接就取正中间的那个，合并之后如果有偶数个数的话，咱们就将两个数加起来除以2.0不就OK啦。

下面我们来考虑一下递归的边界条件：

1）如果其中有一个数组是空的话，那么就直接返回另外一个数组的下标为[k - 1]的就可以了；

2）如果k = 1，也就是说取的是最小值，我们只需要比较A[0]和B[0]，然后取他们之间更小的值就行了呗；

3）如果A[k/2 -  1] = B[k/2 - 1],当然只需要返回其中的一个就行了。

OK，分析到此为止，下面开始动手啦！！！

代码：

按题目要求，数组个数分为偶数个和奇数个的情况：

下面就是具体的查询第k大的数的描述了：

这道题第一次见还是比较新颖的，在这参考了下面的这篇博客，就是我上文提到的那篇文章，在这以表感谢啊（http://blog.csdn.net/zxzxy1988/article/details/8587244）。