[乱搞]斐波那契数列与gcd之间一个有趣的定理

求证

gcd(Fn,Fm)=Fgcd(n,m)

其中 F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>1)

证明

听说这是一个非常有用的定理，那么就来随便证(luan)明(gao)一下

Part 1

gcd(Fn,Fn−1)=1
证明：gcd(Fn,Fn−1)=gcd(Fn−Fn−1,Fn−1)=gcd(Fn−2,Fn−1)……
归纳得证

Part 2

Fn+m=Fn−1Fm+FnFm+1
首先对于m=1显然成立
对于m=2推一下也成立
然后我们来归纳一发，若m=k-1和m=k成立，那么m=k+1也成立

Fn+k+1=Fn+k+Fn+k−1

=Fn−1Fk+FnFk+1+Fn−1Fk−1+FnFk

=Fn−1(Fk+Fk−1)+Fn(Fk+1+Fk)

=Fn−1Fk+1+FnFk+2

得证

Part 3

gcd(Fn+m,Fn)=gcd(Fn,Fm)
证明：gcd(Fn+m,Fn)=gcd(Fn−1Fm+FnFm+1,Fn)=gcd(Fn−1Fm,Fn)=gcd(Fm,Fn)
得证

Part 4

gcd(Fn,Fm)=Fgcd(n,m)
Part 3 的结论也可以写作gcd(Fn,Fm)=gcd(Fn−m,Fm)
然后就是辗转相除法来归纳一发就好了

以上本定理得证