斐波那契数列的齐肯多夫定理

斐波那契数列：1,2,3,5,8,13......

齐肯多夫定理：任何正整数都可以唯一地表示成若干个不连续的斐波那契数之和。

首先，存在性。

在上面的百科链接里面，有数学归纳法的证明。

然后，唯一性。

可以用反证法加上无穷递降法证明出来。

假设n是最小的有2种表示法的整数，其中一种表示中，最大的数是a,另外一种表述中，最大的数是b。

这里需要一个简单的结论：

引理：如果m是斐波那契数，那么不超过m的所有斐波那契数中，选出若干个不连续的，能够得到的最大的和刚好就是m-1

比如说，在1,2,3,5,8,里面，最大的和就是1+3+8=12，刚好是13-1。

无论m是第奇数个斐波那契数，还是第偶数个，都是一样的，证明很简单，略。

所以，根据这个引理，a和b只能相等。

因为这是2种不同的表示法，所以n一定要比a大。

那么n-a就有2种不同的表示法，即将上面的2个不同的表示法里面删掉相同的数a、b，得到的自然是不同的表示法。

这个，n-a小于n，与n的最小性矛盾！

所以，表示法是唯一的。

在斐波那契博弈里面，用的就是这个定理。

详情：HDU - 2516 取石子游戏（斐波那契）