johnson最短路径

Johnson算法是求稀疏图的多元最短路径的算法，权值可以为负，但是不可以有负环。Johson算法是Bellman-Ford算法, Reweighting(重赋权重)和Dijkstra算法的大综合。主要的思想是使用dijstra算法对每个结点求单源最短路，但是dijstra不能解决有负权值的边，所有需要给边重新赋值，且赋值后最短路径与原来的最短路径的距离和path相同。使用斐波那契堆作为优先级队列时时间复杂度是O(V^2logV + VE)。

Johnson算法具体步骤：

1.初始化，把一个node q添加到图G中，使node q 到图G每一个点的权值为0。

2.使用Bellman-Ford算法，从源点为q，寻找每一个点 v从q到v的最短路径h(v)，如果存在负环的话，算法终止。

3.使用第2步骤中Bellman-Ford计算的最短路径值对原来的图进行reweight操作（重赋值）：边<u,v>的权值w(u,v)，修改成w(u,v)+h(u)-h(v)。

4.最后，移去q，针对新图（重赋值之后的图）使用Dijkstra算法计算从每一个点s到其余另外点的最短距离。

（5.使用dijstra计算完最短路后，需要d(i,j) = d'(i,j) + h(v) - h(u)才是最后结果）

伪代码（摘自算法导论）：