算法笔记--排列组合

小数据时：C(a,b)
先乘后除不会出现截断以及尽大可能不超数据范围。LL最大C(33,66)；

int ans=1;for(int i=0;i<=b;i++){    ans*=(a-i);    ans/=(i+1);}

递推写法（可以取膜）

long long c[1005][1005];void init(){    c[1][1]=1;    for(int i=0;i<=1000;i++) c[i][0]=c[i][i]=1;    for(int i=2;i<=1000;i++)    {        for(int j=1;j<=i;j++)        {            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;        }    }}

数据比较大时用Lucas定理：Lucas(a,b)=C(a,b)%p

C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p。显然除法取模，这里要用到m!(n-m)!的逆元。

根据费马小定理：

已知(a, p) = 1，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p), 所以 a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p)。

也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)^(p-2) ；

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cmath>#include<algorithm>#define LL long longusing namespace std;LL n,m,p;LL quick_mod(LL a, LL b){    LL ans = 1;    a %= p;    while(b)    {        if(b & 1)        {            ans = ans * a % p;            b--;        }        b >>= 1;        a = a * a % p;    }    return ans;}LL C(LL n, LL m){    if(m > n) return 0;    LL ans = 1;    for(int i=1; i<=m; i++)    {        LL a = (n + i - m) % p;        LL b = i % p;        ans = ans * (a * quick_mod(b, p-2) % p) % p;    }    return ans;}LL Lucas(LL n, LL m){    if(m == 0) return 1;    return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;}

写法二

//求C(n,m)%p p(素数)最大为10^5。a,b可以很大！#define LL long longLL PowMod(LL a,　LL b,　LL MOD){    LL ret　=　1;    while　(b)　{        if　(b&1) ret　=　(ret*a)%MOD;        a　=　(a*a)　%　MOD;        b　>>=　1;    }    return ret;}LL fac[100005];LL Get_Fact(LL p)　{    fac[0]　=　1;    for　(int i　=　1;i　<=　p;　i++)        fac[i]　=　(fac[i-1]*i)%p;}LL Lucas(LL n,　LL m,　LL p)　{    LL ret　=　1;    while　(n　&&　m)　{        LL a　=　n%p,　b　=　m%p;        if　(a　<　b) return 0;        ret　=　(ret*fac[a]*PowMod(fac[b]*fac[a-b]%p,　p-2,　p))%p;        n　/=　p;　m　/=　p;    }    return ret;}int main()　{    LL n,　m,　p;    scanf("%I64d　%I64d　%I64d",　&n,　&m,　&p);    Get_Fact(p);    printf("%I64d\n",　Lucas(n,　m,　p));    return 0;}