浅谈Tarjan算法求LCA

Tarjan是一个很厉害的人，不少算法（包括一些数据结构比如splay）都是他发明的…

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Tarjan求LCA是利用并查集的思想进行操作的

首先我们有如下的思路

void Tarjan(int u){    fa[u]=u;    for(register int i=head[u];i;i=line[i].nxt){        int v=line[i].to;        if(v!=father[u]){            Tarjan(v);            fa[v]=u;        }    }    for(register int i=head_question[u];i;i=question[i].nxt){        int v=question[i].to;        if(!fa[v]) question[i].lca=find(v);    }}

如果没有学过Tarjan求LCA的朋友看这里可能会有一些看不懂，现在我来解释一下其中的变量和数组的含义已经算法的大概思路

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数据结构讲解：

首先fa数组表示的并查集中的那个fa，而father数组是在先前的dfs遍历的时候处理出来了的树上的father，head数组和line数组存的是树形结构的边（这里是邻接表结构），而headquestion和question存的是问题的那条链的首尾处（也就是询问的那两个点的LCA），question[i].lca存的是该询问的lca，那么显然这两个数据结构应该是这样的

struct Line{    int val,from,to,nxt;};

以及

struct question{    int from,to,lca,nxt;};

显然这是一个离线算法，也就是说，我需要把所有的处理先离线到结构体中

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算法讲解：

现在了解了数据结构之后我们来看看算法的内容以及实现，每次访问到一个数，我们就把其并查集中的fa设置为自己，这与普通并查集的操作是一样的，然后进行向下的访问，只要不往回访问，则往下继续递归操作，回来的时候把v的fa重置为u，也是并查集的操作，表示v可以追溯到u。
对于u的所有子点及子点的子孙已经访问完了之后，我们枚举所有和u有关的询问，试想一张图

假设我们的询问是

P-Q，P-B，A-Q

其中点上的数字是我们访问的dfs序，显然我们在处理Q的时候会递归处理到所有的Q的子孙，那么如果是在Q的dfs树中处理到的点，我们发现无论如何其子点和Q点的fa都不可能高过Q点，因为我们进这一层dfs树的时候，Q点的fa数组置成了Q点本身，所以我们在访问其子点P点的时候，会发现Q点已经被访问过了，而P点是Q的子树中的点，所以他们的LCA就是当前Q所能追溯到的最早的fa，从P点往上走，到Q点的时候，枚举所有和Q有关系的询问，发现可以找到P点和A点，对于P点，寻找P点和Q点的LCA，就要找P点的最早能追溯到的祖先
我们发现P点网上追溯的时候，最多只能追溯到Q点，因为Q点的fa还是自己本身没有变，所有没有影响，对于A点，我们发现A点还没有处理过，也就是说fa[A]==0，这个时候A并没有在这个dfs树中，也没有在并查集这个数据结构中，所以我们并不能对其进行处理，继续往上走，然后往7号节点访问，访问B，然后访问B的所有子点，回来的时候，枚举和B有关的所有询问，发现和P点有连接，而P点可以追溯到的最早的祖先是1号节点，因为在3号节点访问P节点的时候，将P节点的fa赋成了3号节点，而3号节点及其子树访问完的时候3号节点的fa又变成了2号节点，2号节点及其子树访问完了之后，2号节点的fa又赋值成1号节点，所以利用并查集的性质，我们可以追溯到的最先的祖先应该是1号节点
而我们当前的dfs树也是最高只能访问到1号节点，所以是从1号节点往右访问，访问到的B节点，所以他们的LCA就应该是1号节点，讲到这里，Tarjan算法求LCA的大致过程就已经讲完了，那么Tarjan求LCA的完整版代码应该包括第一遍的dfs求dfs序和father以及并查集的find函数

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完整代码实现：

void dfs(int u,int fat,int cnt){    father[u]=fat;    dfn[u]=++timer;    deep[u]=cnt;    for(register int i=head[u];i;i=line[i].nxt){        int v=line[i].to;        if(v!=fat) dfs(v,u,cnt+line[i].val);    }}int find(int x){    return x=fa[x]?x:fa[x]=find(x);} void Tarjan(int u){    fa[u]=u;    for(register int i=head[u];i;i=line[i].nxt){        int v=line[i].to;        if(v!=father[u]){            Tarjan(v);            fa[v]=u;        }    }    for(register int i=head_question[u];i;i=question[i].nxt){        int v=question[i].to;        if(!fa[v]) question[i].lca=find(v);    }}

值得注意的是，第一个dfs函数中还可以顺便处理一些其他数据，比如说对于一些边有权值的题目，还可以顺便处理一个深度，也就是上述代码中的deep数组所存储的数据