Mutli-SG游戏 ——学习笔记

还是先给出Mutli-SG的定义：

Multi-SG 游戏规定，在符合拓扑原则的前提下，一个单一游戏的后继可以为多个单一游戏。
Multi-SG 其他规则与 SG 游戏相同。

关于这种游戏，Jia Zhihao神犇也没过多的解释，但他有说依然能用SG函数表示，那么SG函数不是需要配合SG定理，SG定理是什么？一个游戏的和的SG值等于下面多个单一游戏的SG值之和，那么拆成的多个单一游戏，其实也可以同之前的SG函数一样定义，一针见血，无论怎么拆，SG定理依旧成立。不过建议这时候重新推导一下SG函数的变化，可能会与不拆的情况有冲突。

例题 POJ 3537 Crosses and Crosses

题目大意：
已知有一行N个格子，初始全为空白，每次可以在某个空白的格子上打X，如果在某一个人操作之后出现连续三个X，那么判定这个操作的人胜利，给出N，判断先手是否有必胜策略。
首先，如果一个格子已经打上X,那么他周围的四个格子都无法摆放了，
如图，如果你在这四个红格子上放X，那么接下来对手一定有策略使得三X连线，你就输了，而对手也深知这一点，于是乎，每个X周围的四个格子就成了禁区，而再往两边就可以再放了（周围还有别的X除外），而每放一个X，就有周围格子成为禁区，那么为了不输我们只能放在不是禁区的格子，所以到此这道题就变成了谁无法在非禁区的格子放X（所有格子都成为禁区），那么他就输了。

如果一开始放一个X，原来一整条格子就分成两个小的片段（也有情况只有一个），此时小的片段依然满足这个定理，所以现在有没有发现，我们已经将一个未知的游戏转换成已知的游戏——Mutli-SG游戏！用f[i]表示连续的i个格子组成的棋盘对应的SG值，那么有

f[0]=0
f[1]=f[2]=f[3]=1
f[i]=mex(f[i-3],f[i-4],f[i-5],f[1]^f[i-6],f[2]-f[i-7]……)
（前提保证这些下标是有意义的）

但本菜鸡并不知道必输时的规律，由于n<=2000，所以可以直接写一个求SG函数的代码，然后O（1）判断。

代码如下：

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int n,f[2005];bool vs[2005];int main(){    f[0]=0; f[1]=f[2]=f[3]=1;    for (int i=4;i<=2000;i++)    {        memset(vs,0,sizeof(vs));        if (i>2) vs[f[i-3]]=1;        if (i>3) vs[f[i-4]]=1;        if (i>4) vs[f[i-5]]=1;        for (int j=1;j<=(i-5)/2;j++)          vs[f[j]^f[i-j-5]]=1;        for (int j=0;;j++)          if (!vs[j]) {f[i]=j; break;}    }    scanf("%d",&n);    if (f[n]) printf("1"); else printf("2");    return 0;}