博弈—SG

组合游戏之基础博弈：http://blog.csdn.net/m0_37345402/article/details/77198270

Sprague-Grundy（SG）

SG值： 除 任意一步所能转移到的子局面的SG值以外的最小非负整数。 

SG定理：
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。假如说在一个游戏中有多个石子堆，我们只需要把对每个石子堆进行sg函数的调用，将得到的所有的值进行异或。得出来的结果为0则局面为必败态。否则为必胜态。

SG函数：
可以将sg函数看作是一个深搜的的过程。而每一堆的石子就相当于图中间的节点，（状态为点，决策为边）所以说整个sg函数的过程就是在对一个有向无环图进行dfs的过程。终止状态出度为0.

定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如 mex{}=0，mex{0,1,2,4}=3，mex{2,3,5}=0。
sg[x] =mex{sg[y] | y是x的后继}    y是x的后继，即x下一步可以到达的状态y

eg.取石子问题
一堆n个的石子，每次只能取{1,3,4}个石子，先取完石子者获胜，求各个数的sg值。
sg[0]=0, f[]={1,3,4}
n=1时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 sg[1] = mex{ sg[0] }= mex{0} = 1;
n=2，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 sg[2] = mex{ sg[1] }= mex{1} = 0;
n=3，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 sg[3] = mex{sg[2],sg[0]} = mex{0,0} =1;
n=4，可以取走4 - f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 sg[4] = mex{sg[3],sg[1],sg[0]} = mex{1,1,0} = 2;
n=5，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以sg[5] = mex{sg[4],sg[2],sg[1]} =mex{2,0,1} = 3;
.....

   x     0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]  0  1  0  1  2  3  2  0  1....

打表模板

void get_sg(){memset(sg,0,sizeof(sg));int i,j;for(i=1;i<=n;i++)//sg[0]=0,所以i从1开始，打表1-n个石子。 {memset(math,0,sizeof(math));//math[]保存所有后继值//a[t]表示改变当前状态的方式,即每次可取的值，t为方式的种类 for(j=0;a[j]<=i&&j<=t;j++){math[sg[i-a[j]]]=1;//把后继状态的sg函数值标记为1 }for(j=0;j<=n;j++)  //模拟mex运算 {if(math[j]==0)//查询后继状态sg值中最小的非零值 {sg[i]=j;break;}}}}

dfs 递归模板

int get_sg(int x)    {       int i;if(sg[x]!=-1)   return sg[x]; bool math[10005];//定义在里面！     memset(math,0,sizeof(math));        for(i=0;i<t&&f[i]<=x;i++)        {            get_sg(x-f[i]);        math[sg[x-f[i]]]=1;              }         for(i=0;;i++)         {            if(math[i]==0)            {        sg[x]=i;        break;}        }       return sg[x];   }