关于无向图上的一些问题

前言

最近一直在刷联赛题目，遇到了很多无向图上的问题，就在此总结一下。

进入正题

第一类

就是一个无向图上，跑某两个点最短路，然后有些使用次数比较小的绕路方法（某些点连出去的边费用减免，抄捷径之类的）。

一个比较好的思想就是分层，每层跑一次最短路，从上层转移，spfa+slf的算法一般卡不掉（这算比较快的）。

还有些一次性连边跑最短路的要尽量避免（时间特别慢），会走到许多冗余的状态。

第二类

无向图上找一些权值平均值最大（或最小的环）。
这种总权除以数量的很经典是二分，然后就是判断负环（正环）问题。

这里可以用bfs版spfa+slf，判断一个点入队是否超过n次。
dfs的spfa一般情况下更快。

第三类

就是给出很多加边（或删边）操作，支持中途查询的问题。

首先一般都需要并查集，然后如果删边就时光倒流一下，维护些数据结构之类的。

现在说一类十分相似的问题。

给出一个无向图，然后加边，要维护一些最大权最小的问题，支持查询。

代表题目：
【NOI2014】魔法森林
等

通常就是排序，维护最小生成树上两点的最大值，把两点之间最大值修改。

用一道题题解结束吧。

【JZOJ4731】游戏

首先关于策略，如果两堆石子相同，先手必输，否则先手必赢。
证明：如果两堆石子相同，先手在某一堆取走多少石子，后手都可以在另一对中取走相同数量的石子，所以除非先手取完一堆中所有的石子，否则两堆都有石子。但此时后手可以把另一堆取完，所以后手必胜。
如果不同，那么先手可以把两堆石子取成相同的，那么此时的后手就是前面情况的先手，所以先手必胜。

然后，这题的一条路径的权值为这条路径包含边的边权最大值，两点之间路径为所有路径权值最小值，那么可以动态维护一个最小生成树。
具体操作：
加边时如果不形成环，那么直接加入，否则找到环上权值最大的边视情况替换掉。
查询就是树上两点路径最大值。

这可以用LCT维护，因为这题数据比较小，所以暴力维护也可以过。

隐形分割线
第三类问题思路不难，但代码一般有些长（并查集+数据结构维护最小生成树）。

总结

也没什么好说的了。
就这样结束吧。