关于无向图中环的研究

1、非生成树边必定是返祖边。
证明：设边(u,v),depth(u)≤depth(v)假如u不是v的祖先，那么v必然会dfs到u使得u是v的儿子，便与depth(u)≤depth(v)矛盾。
2、对于链\子树\单点询问，动态边双联通分量可以直接等价成生成树中的lca x，把其他点清零。（bzoj2959长跑）
证明：
对于子树u，要么x在u中，那么就会被覆盖；要么u在双联通分量中，那么直接令u=x即可。
对于单点询问，没什么好说的。。
对于链询问，设链lca为u，那么如果x在子树u中，链经过双联通分量当且仅当链经过x；如果u在子树x中，那么链经过双联通分量当且仅当u在双联通分量中，此时也直接令u=x即可。
3、我们称由n条非树边构成的环称为n元环。则任何一个（这里的环指的是若干简单环的并）环均可表示成若干1元环的异或，任何若干1元环的异或也均为一个环；而且，这样的对应是一一对应的。作为推论，任何一个简单环都可以表示成若干一元环的异或。
证明：
我们只需要说明。若n元环有k条非树边(u1,v1),(u2,v2),...,(uk,vk)，则其便可表示为那k个有这k条边的1元环的异或，即任何一个环与一个二进制数等价。
我们用数学归纳法证明，如果所有n元环都能表示成若干1元环的异或，那么任何一个n+1元环，我们从中任选一条非树边，将这个环与这条边对应的那条1元环异或，便可得到一个n元环，所以任何n+1元环也能表示成若干1元环的异或。