KMP算法

字符串比较，是实际应用中比较重要的一个内容，如果单纯的逐位比较，显然是太慢了（当然，朴素的字符串比较算法在平均情况下表现还是很好的）。下面要介绍的是KMP算法。

思想

KMP算法的思想很简单，它最核心的思想就是当失配时利用当前的信息而不是重新从头比较。考虑A串和B串，要求B在A第一次出现的位置（通常称B串为模式串）。令p[i]表示小于i的最大的x,使得[1,x]=[i-x+1,i]（如何求p数组的问题等下再探讨）。那么，如果失配(A[i]≠B[j])，在这种情况下，朴素算法将令j=1，重新比较，但是，KMP算法利用了已经处理过的信息，即B[1,j−1]=A[i−j+1,i−1]，所以，不需要重新比较，我们就可以知B[1,p[j−1]]=A[i−p[j−1],i−1]，我们的目的，就是要找到B的一个最大的前缀[1,x]，使得B[1,x]=A[i−x+1,i]，所以，只要不停地重复取p[]，直到B[p[j]+1]=A[i]即可。代码如下：

int j=0;for(int i=1;i<=n;i++){    while(j&&s1[i]!=s2[j+1])j=p[j];    if(cmp(s2[j+1],s1[i]))j++;    if(j==m){        printf("%d",i-m+1);        return 0;    }}

如何求p数组

要求p[i]我们可以利用p[1..i-1]，我们知道，p[i]表示的是使前缀等于后缀的最大长度，所以，最好的情况一定是B[p[i−1]+1]=B[i]，这样，最大长度就是p[i−1]+1，但是，B[p[i−1]+1]不一定等于B[i]，如果不等于，怎么办，显然，我们需要所小长度，但是，缩小到多少呢？答案是应该缩小到p[p[i-1]]。代码如下：

p[1]=0;for(int i=2;i<=m;i++){    int j=p[i-1];    while(j&&!cmp(s2[j+1],s2[i]))j=p[j];    if(cmp(s2[j+1],s2[i]))p[i]=j+1;}

有没有发现，这段求P数组的代码和上面的比较的代码惊人的相似。这是因为，求P数组实际上就是一个对模式串进行自我匹配的过程。

时间复杂度

KMP的时间复杂度是线性的，即是O(N),N为主串长度。为什么？最难估算复杂度的地方就是循环中的while语句，我们看，每次while，j都会变小，并且，j变到0就停了，要变小，j首先得加上去，由于每次循环j最多加一，所以j最多累积加了N，同理，j最多累积减小了N次，所以KMP算法的构造P数组和求解的过程复杂度都为O(N)。
代码如下：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define maxn 100006using namespace std;inline char nc(){    static char buf[100000],*i=buf,*j=buf;    return i==j&&(j=(i=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),i==j)?EOF:*i++;}inline int read_s(char *x){    char ch=nc();int len=0;    while(ch!='\n'&&ch!=EOF)*x++=ch,len++,ch=nc();    *x='\0';    return len;}int n,m,p[maxn];char s1[maxn],s2[maxn];int main(){    freopen("str.in","r",stdin);    freopen("str.out","w",stdout);    n=read_s(s1+1);m=read_s(s2+1);    p[1]=0;    for(int i=2;i<=m;i++){        int j=p[i-1];        while(j&&s2[j+1]!=s2[i])j=p[j];        if(s2[j+1]==s2[i])p[i]=j+1;    }    int j=0;    for(int i=1;i<=n;i++){        while(j&&s2[j+1]!=s1[i])j=p[j];        if(s2[j+1]==s1[i])j++;        if(j==m){            printf("%d",i-m+1);            return 0;        }    }    printf("-1");    return 0;}