【codejam2008_Round1A_C】Numbers

题目大意：
计算(3+5√)n整数部分末三位。

题解：
题解原网址https://code.google.com/codejam/contest/32016/dashboard#s=a&a=2

设α=3+5√，β=3−5√，Xn=αn+βn
可证明Xn为整数（二项式定理）

Xn=αn+βn=∑i=0n(ni)3n−i(−5√)i+∑i=0n(ni)3n−i5√i=2⎛⎝∑i=0⌊n/2⌋(n2i)3n−2i5i⎞⎠

∵0<βn<1
∴αn的整数部分一定等于Xn−1

Solution1：（共轭）

设αn=an+bn5√，βn=an−bn5√
∴Xn=2an
又∵αn+1=(3+5√)(an+bn5√)=(3an+5bn)+(an+3bn)5√
∴an+1=3an+5bn，bn+1=an+3bn

(anbn)=A(an−1bn−1)=An(a0b0),A=(3153)

初始状态：α0=1，

(a0b0)=(10)

可使用矩阵快速幂，时间复杂度O(logn)

方法2：

∵α+β=6，αβ=4
所以α和β是x2−6x+4=0的两个根
∴α2=6α−4，β2=6β−4
∴αn+2=6αn+1−4αn，βn+2=6βn+1−4βn
两式相加，得：

Xn+2=6Xn+1−4Xn

所以可使用矩阵乘法：

(Xn+1Xn)=B(XnXn−1)=Bn(X1X0),B=(61−40)

方法3：（方法2存在循环，可优化）

我们只需要最后结果的最后3位，经过法2的多次计算后发现，结果从n=4至n=103是一个长度为100的循环，然后继续下去。
如果n很大，输出(n−3)mod100+3

代码：

#include<cstdio>#include<vector>using namespace std;typedef vector<int> Vector;typedef vector<Vector> Matrix;Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){    int as1=a.size(),as2=a[0].size(),bs1=b.size(),bs2=b[0].size();    if(as2!=bs1)        return Matrix(0,Vector(0));    Matrix ret(as2,Vector(bs1,0));    for(int i=0;i<as1;i++)        for(int j=0;j<bs2;j++)            for(int k=0;k<as2;k++)                ret[i][j]=(ret[i][j]+(a[i][k]*b[k][j])%1000)%1000;    return ret;}Matrix pow(Matrix a,int b){    Matrix c(a.size(),Vector(a.size(),0));    for(int i=0;i<(int)a.size();i++)        c[i][i]=1;          for(;b;b>>=1,a=a*a)        if(b&1)            c=c*a;    return c;}namespace SolutionA{    int solve(int n)    {        Matrix a(2,Vector(2,0));        a[0][0]=3;a[0][1]=5;        a[1][0]=1;a[1][1]=3;        a=pow(a,n);        return (a[0][0]*2+999)%1000;    }}namespace SolutionB{    int solve(int n)    {        Matrix b(2,Vector(2));        b[0][0]=6;b[0][1]=-4;        b[1][0]=1;b[1][1]=0;        b=pow(b,n);        int ret=b[1][0]*6+b[1][1]*2+999;        while(ret<0)            ret+=1000;        return ret%1000;    }}namespace SolutionC{    int solve(int n)    {        if(n>103)            n=(n-3)%100+3;        return SolutionB::solve(n);    }}int main(){    int T,n;    scanf("%d",&T);    for(int i=1;i<=T;i++)    {        scanf("%d",&n);        //printf("Case #%d: %03d\n",i,SolutionA::solve(n));        //printf("Case #%d: %03d\n",i,SolutionB::solve(n));        printf("Case #%d: %03d\n",i,SolutionC::solve(n));    }    return 0;}