17.7.3小结、【矩阵快速幂】2017武大校赛I题：A simple math problem即nyoj2333、 bzoj2326

来源：互联网发布：淘宝买游戏装备流程编辑：程序博客网时间：2024/06/07 19:11

17.7.3暑假集训小结：

今天早上踩着8点进来了，昨天刚从家里到学校，先收拾了一下电脑到九点半；

从今天开始的计划是上学期考试的时候没刷的题目刷一下，到7.5；

一上午也没有做出这道题目，一直在学习有关这道题目的博客，慢慢的也就理解了；

也知道是个矩阵快速幂，但是切入点不对，说白了不就是需要知道定义的n值然后取余11就好了！

所以就用矩阵快速幂边求得定义的n值边取余啦~；然后下午給A了，下午学习的是容斥定理；

2333: A simple math problem

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题目描述

Given a number n, you should calculate 123456 . . . 11121314 . . . n module 11.

输入

A single line with an integer n (0 < n ≤ 10e18) 单组数据测试.

输出

Output one integer, 123456 . . . 11121314 . . . n module 11

样例输入

样例输出

提示

1 ≡ 1( mod 11)

1234567891011121314151617181920 ≡ 5( mod 11)

123456789101112131415161718192021 ≡ 4( mod 11)

来源

2017武汉大学程序设计

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思路：要使用矩阵快速幂，首先就要推出递推式，然后构造矩阵-矩阵乘法-矩阵快速幂-主函数；递推式：f(n)=f(n-1)*10^k+n；可以构造出矩阵：f(n-1) 0 0 10^k 1 1n-1 0 0 0 1 11 0 0 0 0 1---------f(n-1)=0、n-1=0----------本道题的难点上述的构造矩阵是一个，另外一个就是矩阵中的10^k!!!1-9 9 10^110-99 90 10^2100-999 900 10^31000-9999 9000 10^4........... ...... .....
每一个10的倍数就要对应的矩阵(10^k不同)进行矩阵乘法；下面的代码处理这个问题十分巧妙，通过来分n的范围进行矩阵乘法；
代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;#define N 3typedef long long LL;LL n,m=11;struct Matrix{    LL mat[N][N];    Matrix()    {        memset(mat,0,sizeof(mat));    }};Matrix mul(Matrix a,Matrix b){    Matrix res;    for(int i=0; i<N; i++)        for(int j=0; j<N; j++)        {            for(int k=0; k<N; k++)            {                res.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];                res.mat[i][j]%=m;            }        }    return res;}Matrix pow_matrix(LL n,LL t){    Matrix res;    for(int i=0; i<N; i++)        res.mat[i][i]=1;    Matrix b; //每次矩阵快速幂前对矩阵进行改变，根据数据范围最多快速幂18次；    b.mat[0][0]=n%m;    b.mat[0][1]=b.mat[0][2]=b.mat[1][1]=b.mat[1][2]=b.mat[2][2]=1;    LL y=t+1-n/10;    while(y)    {        if(y&1)            res=mul(res,b);        y>>=1;        b=mul(b,b);    }    return res;}  //模板上的输入变量是：矩阵、数据长度；灵活运用模板，依题目而变（说着轻松）int main(){    while(~scanf("%lld",&n))    {        Matrix ans;        ans.mat[2][0]=1;        int x[9]= {0,1,1,2,2,3,3,3,4};        if(n<9)        {            printf("%d\n",x[n]);            continue;        }        LL t=10;        for(int i=1; i<=18; i++)        {            ans=mul(pow_matrix(t,t-1),ans);            t*=10;            if(t>n)  break;        }        ans=mul(pow_matrix(t,n),ans);        printf("%lld\n",ans.mat[0][0]);    }    return 0;}

是的，这道题目也可以用暴力规律来找，总共18个规律；题解思路：搁位和相减；
如果不是取余11呢，取余一个变量呢：

2326: [HNOI2011]数学作业

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 2180 Solved: 1269
[Submit][Status][Discuss]

Description

代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;#define N 3typedef long long LL;LL n,m;struct Matrix{    LL mat[N][N];    Matrix()    {        memset(mat,0,sizeof(mat));    }};Matrix mul(Matrix a,Matrix b){    Matrix res;    for(int i=0; i<N; i++)        for(int j=0; j<N; j++)        {            for(int k=0; k<N; k++)            {                res.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];                res.mat[i][j]%=m;            }        }    return res;}Matrix pow_matrix(LL n,LL t){    Matrix res;    for(int i=0; i<N; i++)        res.mat[i][i]=1;    Matrix b;    b.mat[0][0]=n%m;    b.mat[0][1]=b.mat[0][2]=b.mat[1][1]=b.mat[1][2]=b.mat[2][2]=1;    LL y=t+1-n/10;    while(y)    {        if(y&1)            res=mul(res,b);        y>>=1;        b=mul(b,b);    }    return res;}int main(){    while(~scanf("%lld",&n))    {        Matrix ans;//        for(int i=0; i<N; i++)//            ans.mat[i][i]=1;        ans.mat[2][0]=1;//        int x[9]= {0,1,1,2,2,3,3,3,4};//        if(n<9)//        {//            printf("%d\n",x[n]);//            continue;//        }    scanf("%lld",&m);        LL t=10;        for(int i=1; i<=18; i++)        {            ans=mul(pow_matrix(t,t-1),ans);            t*=10;            if(t>n)  break;        }        ans=mul(pow_matrix(t,n),ans);        printf("%lld\n",ans.mat[0][0]);    }    return 0;}

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