2017 武大校赛 I: A simple math problem（矩阵快速幂）

来源：互联网发布：在线室内设计软件编辑：程序博客网时间：2024/06/05 14:35

问题 I: A simple math problem

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题目描述

Given a number n, you should calculate 123456 . . . 11121314 . . . n module 11.

输入

A single line with an integer n (0 < n ≤ 10e18) 单组数据测试.

输出

Output one integer, 123456 . . . 11121314 . . . n module 11

样例输入

样例输出

提示

1 ≡ 1( mod 11)

1234567891011121314151617181920 ≡ 5( mod 11)

123456789101112131415161718192021 ≡ 4( mod 11)

分析：F【i】是求1234....i %11的结果。

可得出：F【i】=（F【i-1】* i的位数+i）%11

矩阵A的构造：

F（i）【 i的位数，1 ，1 】 F（i-1）

i 【 0 ，1 ，1 】 i-1

1 【 0 ，0 ， 1】 1

因为i 的位数最多有18个，所以分成18个矩阵加速来写。

附提交网站

代码：

#include <iostream>  #include <cstdio>  #include <cstring>  #include <algorithm>  using namespace std;  long long N,MOD;  struct Mat{      long long A[3][3];  }S[20],ans;  Mat operator * (Mat a,Mat b)  {      Mat ret;      ret.A[0][0]=(a.A[0][0]*b.A[0][0]+a.A[0][1]*b.A[1][0]+a.A[0][2]*b.A[2][0])%MOD;      ret.A[0][1]=(a.A[0][0]*b.A[0][1]+a.A[0][1]*b.A[1][1]+a.A[0][2]*b.A[2][1])%MOD;      ret.A[0][2]=(a.A[0][0]*b.A[0][2]+a.A[0][1]*b.A[1][2]+a.A[0][2]*b.A[2][2])%MOD;        ret.A[1][0]=(a.A[1][0]*b.A[0][0]+a.A[1][1]*b.A[1][0]+a.A[1][2]*b.A[2][0])%MOD;      ret.A[1][1]=(a.A[1][0]*b.A[0][1]+a.A[1][1]*b.A[1][1]+a.A[1][2]*b.A[2][1])%MOD;      ret.A[1][2]=(a.A[1][0]*b.A[0][2]+a.A[1][1]*b.A[1][2]+a.A[1][2]*b.A[2][2])%MOD;        ret.A[2][0]=(a.A[2][0]*b.A[0][0]+a.A[2][1]*b.A[1][0]+a.A[2][2]*b.A[2][0])%MOD;      ret.A[2][1]=(a.A[2][0]*b.A[0][1]+a.A[2][1]*b.A[1][1]+a.A[2][2]*b.A[2][1])%MOD;      ret.A[2][2]=(a.A[2][0]*b.A[0][2]+a.A[2][1]*b.A[1][2]+a.A[2][2]*b.A[2][2])%MOD;      return ret;  }             void init()  {      S[1].A[0][0]=10%MOD;      S[1].A[1][0]=1;      S[1].A[1][1]=1;      S[1].A[2][0]=1;      S[1].A[2][1]=1;      S[1].A[2][2]=1;      ans.A[0][0]=1;      ans.A[1][1]=1;      ans.A[2][2]=1;      for (int i=2;i<20;i++)      {          S[i]=S[i-1];          S[i].A[0][0]*=10;          S[i].A[0][0]%=MOD;      }  }  Mat Ksm(Mat a,long long k)  {      Mat ret;      ret.A[0][0]=ret.A[1][1]=ret.A[2][2]=1;      if (k==0)          return ret;      if (k==1)          return a;      if (k%2==0)      {          ret=Ksm(a,k/2);          return ret*ret;      }else      {          ret=Ksm(a,k-1);          return ret*a;      }  }  int main()  {      long long begin=1,i,nn,len=0,k=1;      MOD = 11;      scanf("%lld",&N);      init();      nn=N;            while (nn)      {          nn/=10;          len++;      }            for (i=1;i<len;i++)      {          //每9个计算一次，因为如果进位了，k值就发生了变化，就要乘变化后的矩阵了，大牛不愧是大牛          ans=ans*Ksm(S[i],k*9);          k*=10;      }      //每次k都是*10，但实际计算的是*9的和，比如我算到9999，此时的k值为10000，所以此处需要+1      //由于减后剩下的值都不会进位，所以直接乘最大位数的转置矩阵即可      ans=ans*Ksm(S[len],N-k+1);      printf("%lld\n",ans.A[2][0]);      return 0;  }

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