60. Permutation Sequence(C++)

The set [1,2,3,…,n] contains a total of n! unique permutations.

By listing and labeling all of the permutations in order,
We get the following sequence (ie, for n = 3):

“123”
“132”
“213”
“231”
“312”
“321”
Given n and k, return the kth permutation sequence.

Note: Given n will be between 1 and 9 inclusive.

康托和逆康托展开

1.康托展开的解释

康托展开就是一种特殊的哈希函数,把一个整数X展开成如下形式：

　　X=a[n]n!+a[n-1](n-1)!+…+a[2]*2!+a[1]*1!

　　其中，a为整数，并且0<=a < i，i = 1,2,…,n

　　{1,2,3,4,…,n}表示1,2,3,…,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

　　代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

　　他们间的对应关系可由康托展开来找到。

　　如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：

　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

　　再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

康托展开的逆运算

　　例 {1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕

　　(1)找出第96个数

　　首先用96-1得到95

　　用95去除4! 得到3余23

　　用23去除3! 得到3余5

　　用5去除2!得到2余1

　　用1去除1!得到1余0

有3个数比它小的数是4

　　所以第一位是4

　　有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5（因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个）

　　有2个数比它小的数是3

　　有1个数比它小的数是2

　　最后一个数只能是1

　　所以这个数是45321

　　(2)找出第16个数

　　首先用16-1得到15

　　用15去除4!得到0余15

　　用15去除3!得到2余3

　　用3去除2!得到1余1

　　用1去除1!得到1余0

　　有0个数比它小的数是1

　　有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）

　　有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）

　　有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）

　　最后一个数只能是2

　　所以这个数是14352

class Solution {public:    string getPermutation(int n, int k) {        string s(n, '0');        string result;        for (int i = 0; i < n; ++i)            s[i] += i + 1;        return kth_permutation(s, k);    }private:    int factorial(int n) {        int result = 1;        for (int i = 1; i <= n; ++i)            result *= i;        return result;    }    // seq已排好序，是第一个排列    template<typename Sequence>    Sequence kth_permutation(const Sequence &seq, int k) {        const int n = seq.size();        Sequence S(seq);        Sequence result;        int base = factorial(n - 1);        --k; // 康托编码从0开始        for (int i = n - 1; i > 0; k %= base, base /= i, --i) {            auto a = next(S.begin(), k / base);  // 后移k / base个元素            result.push_back(*a);            S.erase(a);        }        result.push_back(S[0]); // 最后一个        return result;    }};