NSGA-II算法的学习笔记

1.    算法优劣性（相较于第一代NSGA）

① NSGA-II添加了精英策略，即保存群体中适应度在第一层级的个体。

②NSGA-II提出了新的给群体按照非支配关系排序的方法，提高了算法速度。其中又使用了拥挤度概念来对非支配层级中同一级的个体进行排序。

2.    算法流程

Began

初始化父代种群P0

给P0中的所有个体按非支配关系排序

 

按照排序给所有个体分配适应度，最佳适应度值设为1

 

进行遗传算法操作（选择、交叉、变异）生成子代种群Q0

 

   △Then

R0 = P0 ∪ Q0

 

给R0按非支配关系（一种偏序关系）排序，并按照个体的支配个数分级F1、F2、F3..

描述该偏序关系的哈斯图的最高点为F1，以此类推。

 

对于每一级Fi 计算每个个体的拥挤度 并依此排序

 

至此，得到R0集合中所有个体的排序

 

    △   After

按照顺序从R0选择个体作为下一代的父代

R1 = ∅

R1 = R1 ∪ F1

如果R1个体数小于种群数量限制N

R1 = R1 ∪ F2

如果R1个体数M大于种群数量限制N

 

则从F2中按照拥挤度排序将M-N的个体放入到R1中。

 

Then

 

对R1进行遗传算法操作（选择、交叉、变异）生成子代种群Q1

 

重复操作，直到达到种群的迭代次数或得到最优解。

Postscript：每次遗传操作后都要记录种群情况。

3. 流程图

4.NSGAII算法的三个关键步骤

排序算法的伪代码如下：

def fast_nondominated_sort( P ):
    F = [ ]
    for p in P:
        Sp = [ ]
         np = 0
         for q in P:
             if p > q:                #如果p支配q，把q添加到Sp列表中
                 Sp.append( q )
             else if p < q:        #如果p被q支配，则把np加1
                 np += 1

        if np == 0:
            p_rank = 1        #如果该个体的np为0，则该个体为Pareto第一级
      F1.append( p )
    F.append( F1 )
    i = 0
    while F[i]:
        Q = [ ]
        for p in F[i]:
            for q in Sp:        #对所有在Sp集合中的个体进行排序
                nq -= 1
                if nq == 0:     #如果该个体的支配个数为0，则该个体是非支配个体
                    q_rank = i+2    #该个体Pareto级别为当前最高级别加1。此时i初始值为0，所以要加2
                    Q.append( q )
        F.append( Q )
        i += 1

    在上面伪代码中，第一部分循环为二重循环，时间复杂度为O(N₂)，第二部分循环中，我们可以假设共有x个级别，而每个级别中最多有（N-N/x）各个体，每个个体的支配集合中也最多有（N- N/x）各个体。由此可得出循环次数为x*（N-N/x）*（N-N/x）=（（x-1）²/x²）N²M，即时间复杂度为O(MN²)。

具体方法如下面伪代码：

def crowding_distance_assignment( I )
        nLen = len( I )        #I中的个体数量
    for i in I:
                i.distance = 0    #初始化所有个体的拥挤距离
    for objFun in M:        #M为所有目标函数的列表
                I = sort( I, objFun )    #按照目标函数objFun进行升序排序
                I[0] = I[ len[I]-1 ] = ∞    #对第一个和最后一个个体的距离设为无穷大
                for i in xrange( 1, len(I) - 2 ):
                        I[i].distance = I[i].distance + ( objFun( I[i+1] ) - objFun( I[i-1] ) )/(Max(objFun()) - Min(objFun()) )
  

        伪代码中的objFun( i )是对个体i求其目标函数值。Max(objFun())为目标函数objFun()的最大值，Min(objFun())为目标函数objFun的最小值。其复杂度为O(MNlogN)。