动态规划（实现最长公共子序列以及最长公共子字符串）

动态规划法

       经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。
       为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

       字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列 <i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

       考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bn-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am- 2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

       这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

• 求解：

       引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
       我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

• 问题的递归式写成：
  

• 回溯输出最长公共子序列过程：

• 算法分析：

       由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m * n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m * n)。

• 代码实现：

public class LCSProblem   {      public static void main(String[] args)      {          //保留空字符串是为了getLength()方法的完整性也可以不保留          //但是在getLength()方法里面必须额外的初始化c[][]第一个行第一列          String[] x = {"", "A", "B", "C", "B", "D", "A", "B"};  //之所以要空出第一行（列），是因为c[][]里面意思是两个字符数组分别多少个，0的意思就是某个串长度为0        String[] y = {"", "B", "D", "C", "A", "B", "A"};          int[][] b = getLength(x, y);          Display(b, x, x.length-1, y.length-1);      }      /**      * @param x      * @param y      * @return 返回一个记录决定搜索的方向的数组      */      public static int[][] getLength(String[] x, String[] y)      {          int[][] b = new int[x.length][y.length];          int[][] c = new int[x.length][y.length];          for(int i=1; i<x.length; i++)          {              for(int j=1; j<y.length; j++)              {                  //对应第一个性质                  if( x[i] == y[j])                  {                      c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;                      b[i][j] = 1;                  }                  //对应第二或者第三个性质                  else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])                  {                      c[i][j] = c[i-1][j];                      b[i][j] = 0;                  }                  //对应第二或者第三个性质                  else                  {                      c[i][j] = c[i][j-1];                      b[i][j] = -1;                  }              }          }             return b;      }      //回溯的基本实现，采取递归的方式      public static void Display(int[][] b, String[] x, int i, int j)      {          if(i == 0 || j == 0)              return;          if(b[i][j] == 1)          {              Display(b, x, i-1, j-1);              System.out.print(x[i] + " ");          }          else if(b[i][j] == 0)          {              Display(b, x, i-1, j);          }          else if(b[i][j] == -1)          {              Display(b, x, i, j-1);          }      }  }  

问题：最长公共子字符串

       类似最长子序列，只是公共子字符串要求必须是连续的。子字符串的定义和子序列的定义类似，但要求是连续分布在其他字符串中。比如输入两个字符串BDCABA和ABCBDAB的最长公共字符串有BD和AB，它们的长度都是2。

• 最长公共子字符串共有两种解决方法：

方法一：

       Longest Common Substring和Longest Common Subsequence是有区别的
       X = <a, b, c, f, b, c>
       Y = <a, b, f, c, a, b>
        X和Y的Longest Common Sequence为<a, b, c, b>，长度为4
       X和Y的Longest Common Substring为 <a, b>长度为2

        其实Substring问题是Subsequence问题的特殊情况，也是要找两个递增的下标序列
<i1, i2, …ik> 和 <j1, j2, …, jk>使
        xi1 == yj1
        xi2 == yj2
        ……
        xik == yjk

       与Subsequence问题不同的是，Substring问题不光要求下标序列是递增的，还要求每次
递增的增量为1， 即两个下标序列为：
<i, i+1, i+2, …, i+k-1> 和 <j, j+1, j+2, …, j+k-1>

       类比Subquence问题的动态规划解法，Substring也可以用动态规划解决，令
c[i][j]表示Xi和Yi的最大Substring的长度，比如(到i，j为止，最长的，包括i，j处的字符）

        X = <y, e, d, f>
        Y = <y, e, k, f>
        c[1][1] = 1
        c[2][2] = 2
        c[3][3] = 0

动态转移方程为：
        如果xi == yj， 则 c[i][j] = c[i-1][j-1]+1
        如果xi ! = yj, 那么c[i][j] = 0
        最后求Longest Common Substring的长度等于 max{ c[i][j], 1<=i<=n， 1<=j<=m}

代码如下：
注意：第一行第一列应该为空：

public static void LCP_String(char[] str1,char[] str2){          int[][] c = new int[str1.length][str2.length];          Stack<Character> stack = new Stack<Character>();          int max = 0; // store the max length of the LCP String          int x = 0;          int y = 0;          for(int i=1;i<str1.length;i++){              for(int j=1;j<str2.length;j++){                  if(str1[i] == str2[j]){                      c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;                  }else{                      c[i][j] = 0;                  }                  if(c[i][j] > max){                      max = c[i][j];                      x = i;                      y = j;                  }              }          }          System.out.println(max);          for(int i=x, j=y;c[i][j] != 0;i--,j--){              stack.add(str1[i]);          }          while(!stack.isEmpty()){              System.out.print(stack.pop());          }      }