（开坑）在线/离线求lca

在线：

ST：

ST算法是基于RMQ来解决lca问题的。

对于一颗树，先深度遍历一遍，开一个ver数组储存每次dfs的位置。

具体数组储存什么序列可以看这位的。

如果我们想求两个点的lca。那么就要在ver数组中从第一次出现x点到第一次出现y的一段中找编号最小的。

为啥呢？可以画一个图模拟yy，我们会发现，两点的lca，不管怎样都会在两点间遍历到。

其余的应该都好理解。

倍增：

1. DFS预处理出所有节点的深度和父节点

inline void dfs(int u){    int i;    for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])      {          if (!deep[to[i]])        {                        deep[to[i]] = deep[u]+1;            p[to[i]][0] = u; //p[x][0]保存x的父节点为u;            dfs(to[i]);        }    }}

 

2. 初始各个点的2^j祖先是谁 ,其中2^j(j=0...log(该点深度))倍祖先，1倍祖先就是父亲，2倍祖先是父亲的父亲......。

void init(){    int i,j;    //p[i][j]表示i结点的第2^j祖先    for(j=1;(1<<j)<=n;j++)        for(i=1;i<=n;i++)            if(p[i][j-1]!=-1)                p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];//i的第2^j祖先就是i的第2^(j-1)祖先的第2^(j-1)祖先}

 

3.从深度大的节点上升至深度小的节点同层，如果此时两节点相同直接返回此节点，即lca。

否则，利用倍增法找到最小深度的p[a][j]!=p[b][j]，此时他们的父亲p[a][0]即lca。

int lca(int a,int b)//最近公共祖先{    int i,j;    if(deep[a]<deep[b])swap(a,b);    for(i=0;(1<<i)<=deep[a];i++);    i--;    //使a，b两点的深度相同    for(j=i;j>=0;j--)        if(deep[a]-(1<<j)>=deep[b])            a=p[a][j];    if(a==b)return a;    //倍增法，每次向上进深度2^j，找到最近公共祖先的子结点    for(j=i;j>=0;j--)    {        if(p[a][j]!=-1&&p[a][j]!=p[b][j])        {            a=p[a][j];            b=p[b][j];        }    }    return p[a][0];}

以上是我搬得，但其实说白了，就是优化了暴力，我们如果暴力求，那么肯定是先将深度大的点升到与另一个点同深度，然后每次同时找父亲，第一个相同的就是lca。那么倍增就是对这个过程的优化，利用记录的祖先来进行跳跃式的查找。

离线：

裸的dfs：这个就不用说了复杂度O(n*q)n个点，q次询问。

tarjan：任选一个点u，遍历它的子节点v， 若v也有子节点，则遍历v的子节点，直到遍历到叶子结点Vx后，将Vx与v合并。这时查找所有与Vx有询问关系的点to，若to已被访问过，则lca就是to的父亲节点。

若to是Vx的祖先，则可以肯定以to为根的子树的搜索尚未完成，所以to仍然自成一个集合，此时lca(Vx,to)=fa[to]=to;
若to是Vx的子孙结点，则可以肯定以to为根的子树的搜索已经完成，to已经被并入Vx所在的集合，所以lca(Vx,to)=fa[to]=Vx;
若to是Vx的兄弟结点或其兄弟结点的子孙结点，设Vx的父亲结点为p，则可以肯定以to为根的子树的搜索已经完成，但以p为结点的子树的搜索尚未完成，所以to已经并入p所在集合，lca(Vx,to)=fa[to]=fa[p]=p;
终上所述，每次完成以to为根的子树的dfs时，对于其他已经标记过的结点to，lca(Vx,to)=fa[to]