证明精确的4SAT是NP-完全问题
来源:互联网 发布:医学听诊软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/02 09:14
题目
在精确的4SAT(EXACT 4SAT)问题中,输入为一组字句,每个字句都是恰好4个文字的析取,且每个变量最多在每个字句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP完全问题。
证明
由于3SAT问题是NP-完全问题,若能将3SAT问题归约到精确的4SAT问题,则可证明精确的4SAT问题也是NP-完全问题。
以下是将3SAT问题归约到精确的4SAT问题:
3SAT:I=(a1∨a2∨a3)(a4∨a5∨a6)…(ak∨ak+1∨ak+2);
精确的4SAT问题要求每个变量最多在每个字句中出现一次,因此首先通过压缩字句去重,对于I中的字句i:
(1)若存在几个变量相等,则只保留其中一个;
(2)若存在两个变量互反,则该字句恒为true,可以将其从I中去除;
使得每个变量最多在每个字句中出现一次。
在I中的字句中添加变量,使得每个字句恰有4个变量。
(1)字句(a1∨a2∨a3)
可以转化为(a1∨a2∨a3∨x)(a1∨a2∨a3∨~x)。
若(a1∨a2∨a3)为真,(a1∨a2∨a3∨x)(a1∨a2∨a3∨~x)显然为真;
由于x和~x必有一个为假,故其对应的‘a1∨a2∨a3’必为真;
(2)字句(a1∨a2)
可以转化为(a1∨a2∨x∨y)(a1∨a2∨~x∨y)(a1∨a2∨x∨~y)(a1∨a2∨~x∨~y)。
若(a1∨a2)为真,则(a1∨a2∨x∨y)(a1∨a2∨~x∨y)(a1∨a2∨x∨~y)(a1∨a2∨~x∨~y)显然为真;
若(a1∨a2∨x∨y)(a1∨a2∨~x∨y)(a1∨a2∨x∨~y)(a1∨a2∨~x∨~y)为真,
由于‘x∨y’,‘~x∨y’,‘x∨~y’和‘~x∨~y’必有一个为假,
故其对应的‘a1∨a2’必为真。
(3)对于字句(a1)同理。
综上,3SAT问题可以归约到精确的4SAT问题,并且归约过程可以在多项式时间内完成,故由3SAT问题是NP-完全问题可以得到精确的4SAT问题也是NP-完全问题。
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