【算法期末作业】8.3 证明STINGY SAT是NP-完全问题

【问题描述】

  STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses(each a disjunction of literals) ans an integer k, find a satisfying

  assignment in which at most k variables are true, if such an assignment exists.

  Prove that STINGY SAT is NP-complete.

【证明】

  1. 易知，STINGY SAT 的解在多项式时间内可验证

  2. 证明可将NP-完全问题 SAT 归约到STINGY SAT

      设 SAT 的一个有k个变量的实例f，则(f, k)为 STINGY SAT 的一个实例，x为一组赋值

      ∴ 只需证明 x 是 f 的解当且仅当 x 是 (f,k) 的解

         充分性：假设 x 是 f 的解，则至多有 k 个变量为真，x赋给 (f,k) 也为真，所以 x 是 (f,k) 的解

         必要性：假设 x 是 (f,k) 的解，显然 x 也是 f 的解

  3. 综上，STINGY SAT 也是一个NP-完全问题