kmp算法

学习KMP算法的时候，这篇博客KMP算法详解给了我很大帮助，不过博客中有些内容对于初学者还是理解困难，现在在这篇博客的基础上进行整理，希望把KMP算法讲解的更清楚一些．
kmp算法又称“看毛片”算法，是一个效率非常高的字符串匹配算法。kmp算法完成的任务是：给定两个字符串O和f，长度分别为n和m，判断f是否在O中出现，如果出现则返回出现的位置。常规方法是遍历a的每一个位置，然后从该位置开始和b进行匹配，但是这种方法的复杂度是O(nm)。kmp算法通过一个O(m)的预处理，使匹配的复杂度降为O(n+m)。
kmp算法思想
我们首先用一个图来描述kmp算法的思想。在字符串O中寻找f，当匹配到位置i时两个字符串不相等，这时我们需要将字符串f向前移动。常规方法是每次向前移动一位，但是它没有考虑前i-1位已经比较过这个事实，所以效率不高。事实上，如果我们提前计算某些信息，就有可能一次前移多位。假设我们根据已经获得的信息知道可以前移k位，我们分析移位前后的f有什么特点。我们可以得到如下的结论：
　　A段字符串是f的一个前缀。
　　B段字符串是f的一个后缀。
　　A段字符串和B段字符串相等。
所以前移k位之后，可以继续比较位置i的前提是f的前i-1个位置满足：长度为i-k-1的前缀A和后缀B相同。只有这样，我们才可以前移k位后从新的位置继续比较。

　　　　　　　　　　　　　　　　图１
　　　　　　　　　　　　　　
举个例子:

　　　　　　　　　　　　　　图2
图(a)显示ababa 5个字符已经匹配成功，但第6个字符不能与相应的文本字符匹配．在该例中，偏移s+1必然是无效的，而偏移s+2可能是有效的．我们发现f3是能构成f5真后缀的最长前缀，这些信息被预先计算出来，并存储在数组next中，即next[5]=3．在偏移s有q个字符成功匹配，则下一个可能有效的偏移为s’=s+(q-next[q])．

所以kmp算法的核心即是计算字符串f每一个位置之前的字符串的前缀和后缀公共部分的最大长度（不包括字符串本身，否则最大长度始终是字符串本身）。获得f每一个位置的最大公共长度之后，就可以利用该最大公共长度快速和字符串O比较。当每次比较到两个字符串的字符不同时，我们就可以根据最大公共长度将字符串f向前移动(已匹配长度-最大公共长度)位，接着继续比较下一个位置。事实上，字符串f的前移只是概念上的前移，只要我们在比较的时候从最大公共长度之后比较f和O即可达到字符串f前移的目的。

　　　　　　　　　　　　　　　　图3
next数组计算
理解了kmp算法的基本原理，下一步就是要获得字符串f每一个位置的最大公共长度。这个最大公共长度在算法导论里面被记为next数组(next[k]表示f中长度为k的子串的前缀与后缀的最大公共长度)。在这里要注意一点，next数组表示的是长度，下标从1开始；但是在遍历原字符串时，下标还是从0开始。假设我们现在已经求得next[1]、next[2]、……next[i]，分别表示长度为1到i的子字符串的前缀和后缀最大公共长度，现在要求next[i+1]。由图3我们可以看到，A，B为当前已求出的f中长度为i的子串的最长公共前缀，后缀，它们字符相同，长度为next[i]，现在求next[i+1]，如果位置i和位置next[i]处的两个字符相同（下标从零开始,位置i对应的是字符串f中第i+1个字符），则next[i+1]等于next[i]加1。如果两个位置的字符不相同，我们可以将长度为next[i]的字符串继续分割，获得其最大公共长度next[next[i]]，然后再和位置i的字符比较(如图３所示,已知A,B所表示的字符串是相同的，A的长度为next[i]，那么字符串A的最长公共前缀为Ap，后缀为As，字符串B的最长公共前缀为Bp，后缀为Bs，那么Ap，As，Bp，Bs是完全相同的，为确定位置i的最长公共长度，只需要在Ap,Bs的基础上继续比较next[next[i]]与i是否相同)。其实长度为next[i]前缀和后缀都可以分割成图3的构造(如图4所示)，如果位置next[next[i]]和位置i的字符相同，则next[i+1]就等于next[next[i]]加1。如果不相等，就可以继续分割长度为next[next[i]]的字符串，直到字符串长度为0为止。

　　　　　　　　　　　　　图４
　　　　　　　　　　　　　
由此我们可以写出求next数组的代码（C++版）：

static vector<int> compute_prefix_function(const string& pat){    int m=pat.size();    vector<int> next(m+1,0);  //next[i]表示长度为i的字符串的前缀与后缀的最长公共部分，下标从1开始。设定next[1]=0    int j=0;//表示已经匹配的长度    for(int i=1;i<m;++i){        /* 已知next[i],求next[i+1]        如果位置i和位置next[i]处的两个字符相同(下标从0开始)，则next[i+1]等于next[i]加1。        如果两个位置的字符不相同，我们可以将长度为next[i]的字符串继续分割，获得其最大公共长度next[next[i]]，然后再和位置i的字符比较        */        while(j>0 && pat[i]!=pat[j])            j=next[j];        if(pat[i]==pat[j])            j+=1;        next[i+1]=j;    }    return next;}

上述代码需要注意的问题是，我们求取的next数组表示长度为1到m的字符串f前缀的最大公共长度，所以需要多分配一个空间。而在遍历字符串f的时候，还是从下标0开始(位置0和1的next值为0，所以放在循环外面)，到m-1为止。代码的结构和上面的讲解一致，都是利用前面的next值去求下一个next值。
字符串匹配
计算完成next数组之后，我们就可以利用next数组在字符串O中寻找字符串f的出现位置。匹配的代码和求next数组的代码非常相似，因为匹配的过程和求next数组的过程其实是一样的。假设现在字符串f的前i个位置都和从某个位置开始的字符串O匹配，现在比较第i+1个位置。如果第i+1个位置相同，接着比较第i+2个位置；如果第i+1个位置不同，则出现不匹配，我们依旧要将长度为i的字符串分割，获得其最大公共长度next[i]，然后从next[i]继续比较两个字符串。这个过程和求next数组一致．事实上，kmp_string_matcher是文本O针对模式f的匹配，而compute_prefix_function则是模式f针对自己的匹配．整体匹配代码如下（C++版）：

void kmp_string_matcher(const string& txt,const string& pat){    int n=txt.size();    int m=pat.size();    if(n>=m){        vector<int> next(compute_prefix_function(pat)); //计算pat中每个位置的最长公共长度        int j=0;        for(int i=0;i<n;++i){             while(j>0 && txt[i]!=pat[j])                j=next[j];            if(txt[i]==pat[j])                j+=1;            if(j==m){                cout<<"match at "<<i-j+1<<endl;                j=next[j];            }        }    }}

上述代码需要注意的一点是，每次我们得到一个匹配之后都要对j重新赋值。

复杂度
kmp算法的复杂度是O(n+m)