矩阵乘法与斐波那契

矩阵乘法

A*B，只有当A的列数等于B的行数时才有意义，即A为n∗m的矩阵，B为m∗L的矩阵。矩阵的乘法定义如下：

[adbecf]∗⎡⎣⎢gikhjl⎤⎦⎥=[ag+bi+ckdg+ei+fkah+bj+cldh+ej+fl]

即

Ci,j=∑k=1mA[i][k]+B[k][j]

由定义可知，矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。

应用

矩阵乘法可以用来优化很多线性递推式，下面以求斐波那契为例。
我们知道，f[n]=f[n−1]+f[n−2]，可以构造一个矩阵A，使得A*[f[n]f[n−1]]=[f[n]+f[n−1]f[n]]，这样，初始矩阵[10]每乘一次A数组，矩阵的第一位就往下推了一个，那么，要求第n项只要乘n-1次，而由于矩阵的乘法是满足结合律的，所以可以用快速幂来求矩阵A的n-1次幂，复杂度大大降低。
那么，如何设计矩阵A呢？
显然，A是一个2*2的矩阵，设A=[acbd]则A∗[f[n]f[n−1]]=[a∗f[n]+b∗f[n−1]c∗f[n]+d∗f[n−1]]，显然，a=1,b=1,c=1,d=0，这样，我们就构造出

A=[1110]

剩下的事就交给快速幂了。
下面附上poj3070的代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define maxn 5#define tt 10000using namespace std;inline char nc(){    static char buf[100000],*i=buf,*j=buf;    return i==j&&(j=(i=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),i==j)?EOF:*i++;}inline int _read(){    char ch=nc();int sum=0,p=1;    while(ch!='-'&&!(ch>='0'&&ch<='9'))ch=nc();    if(ch=='-')p=-1,ch=nc();    while(ch>='0'&&ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=nc();    return sum*p;}struct matrix{    int n,m,a[maxn][maxn];    matrix operator *(matrix&b){        matrix c;c.n=n;c.m=b.m;        for(int i=1;i<=c.n;i++)         for(int j=1;j<=c.m;j++){            c.a[i][j]=0;            for(int k=1;k<=m;k++) (c.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j])%=tt;         }        return c;    }};int n;matrix G,ans;matrix power(matrix x,int y){    if(y==1)return x;    matrix c=power(x,y>>1);    if(y&1)return c*c*x;      else return c*c;}int main(){    freopen("fib.in","r",stdin);    freopen("fib.out","w",stdout);    n=_read();    while(n!=-1){        G.n=G.m=2;G.a[1][1]=G.a[1][2]=G.a[2][1]=1;G.a[2][2]=0;        ans.n=2;ans.m=1;ans.a[1][1]=1;ans.a[2][1]=0;        if(n==0){            printf("0\n");n=_read();            continue;        }        if(n==1){            printf("1\n");n=_read();            continue;        }        G=power(G,n-1);        ans=G*ans;        printf("%d\n",ans.a[1][1]);        n=_read();    }    return 0;}