计算几何之凸包模板

 凸包复习

  几何专题刷了有大半年了，突然发现以前学的竟然忘的差不多了，下午又花了点时间复习一下，感觉挺简单的（全是靠模板。。

  资料上没有适合自己的模板，于是复习一下自己整理一下模板。

  先来接触点预备函数：

 一、 点的定义：

int n,tot;//n为二维平面上点的个数，tot为凸包上点的个数struct node{    int x,y;}a[N],p[N];//p[]用来储存凸包

二、距离公式：

double dis(node a,node b){    return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);}

三、叉积：返回结果为正说明p2在向量p0p1的左边（三点构成逆时针方向）；为负则相反；为0则三点共线(叉积的性质很重要)

double multi(node p0,node p1,node p2){    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);}

四、极角排序：极角排序是根据坐标系内每一个点与x轴所成的角，逆时针比较，。按照角度从小到大的方式排序。

int cmp(node p1,node p2)//极角排序；{    int x=multi(p1,p2,a[0]);    if(x>0||(x==0&&dis(p1,a[0])<dis(p2,a[0]))) return 1;    return 0;}

graham 算法：O(nlogn)

void Graham(){    int k=0;            for(int i=0;i<n;i++)        if(a[i].y<a[k].y||(a[i].y==a[k].y&&a[i].x<a[k].x)) k=i;    swap(a[0],a[k]);    sort(a+1,a+n,cmp);    tot=2,p[0]=a[0],p[1]=a[1];    for(int i=2;i<n;i++)    {        while(tot>1&&multi(p[tot-1],p[tot-2],a[i])>=0) tot--;        p[tot++]=a[i];    }}

 以上连接起来就是求凸包的模板。

 

 光有代码不行，还得懂原理

 附一篇较好的博客：传送门

 

  看懂了那篇博客基本上凸包就已经会了。

  先用一个经典问题来引入吧： 在一片有限区域的草坪上有n个木桩（n>=3），现在要求用一根绳子将这些木桩围起来，求所需绳子的最短周长。

  以上问题中绳子所围成的图形就是一个凸包。要求周长，那么必须先要求出绳子接触了哪些木桩。

  求凸包有若干种方法，这里只介绍Graham算法。

  大致思路：先确定凸包上一个点，再用这个点作为参照将剩余的点进行极角排序，根据性质可以得到凸包上的第二个点，再用已知的凸包上的点利用叉积的性质进行确定下一个点，直到围成一个凸包。

① 先确定凸包上的一个点，我们知道横纵坐标最大或最小的点肯定在凸包上，我们就选取纵坐标最小的点作为第一个点，如果有多个纵坐标最小的点怎么办呢，我们选取横坐标最小的点。这是为极角排序做准备。

② 极角排序：上面提到了极角排序的定义，我们可以以选取的第一个点p0作为原点（参照），其他点与p0点的连线与x轴的夹角进行排序，如果夹角相同怎么办呢，按与p0的距离排序，这一步考验对叉积的性质利用。

③  除了p0，排序后的第一个点p1和最后一个点一定是凸包上的点，想想为什么。这样我们就得到了p0,p1,我们把它们放入栈里，现在用p0,p1来确定p2（栈顶的两个点来确定下一个点），还是用叉积的性质，栈顶两个点连成线（向量），看当前点是在直线的左边还是右边，如果在右边，说明栈顶的那个点不是凸包上的点，退栈即可，然后重复判断栈顶两个元素与当前元素的关系；反之，则说明当前点是凸包上的点。

④  将当前点入栈，如果当前点不是凸包上的点，后面的点自然会将这个点gank。对下一个点进行相同的操作。最后栈中的点就是凸包上的点啦。

 

 详细请参考上面代码。

 推荐几道例题吧：

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