证明题-8.12

8.12  The k-SPANNING TREE problem is the following.

                           Input: An undirected graph G = (V,E)

                           Output: Aspanningtreeof G in which each node has degree≤ k, if such a tree exists.

           Show that fo rany k ≥2:

                           (a) k-SPANNING TREE is a search problem.

                           (b) k-SPANNING TREE is NP-complete. (Hint: Start with k = 2 and consider the relation between this problem and RUDRATA PATH.)

             证明：

                           首先，验证任意给定解t是否是k生成树，也就是确定G中的所有顶点是否都能在t中找到，t中是否有环，以及t中每个顶点度数是否小于等于k。这些都可以通过对G或t实施搜索算法（例如DFS，BFS等），而这些是可以在多项式时间内解决的，所以是搜索问题，也是NP问题。

                          从上面的描述中可以看出k生成树问题是NP问题。

                          目标：Rudrata Path规约到k生成树，即某个k生成树算法可以As解决Rudrata Path问题

                          做法:  令G每条边权为1，k=2，则每个顶点度数小于等于2 的树实际上为一条路径。对G实施As算法，若As表示2生成树存在，则在G中存在一条

                                     包含所有顶点的无环无圈路径，也即G中存在Rudrata Path。若As表示2生成树不存在，也即G中没有Rudrata Path。可以看出，求解是否存在

                                     Rudrata Path的问题实际上可以用k生成树存在算法解决，即前者可以规约到后者。

                          结论：k生成树问题是一个NPC问题