软导证明题

1.

·

Negative(I)=2k−I

N=∑i=1ndiRi−1

证明进制转化是对的

对于一个数x=(xnxn−1...x1)2，有：

x=∑i=1ndi2i−1

即：

x=xn∗2n−1+xn−1∗2n−2+...+x3∗22+x2∗21+x1∗20

即：

x=23∗∑i=4ndi2i−4+(x3∗22+x2∗21+x1∗20)∗80

即：

x=81∗∑i=4ndi2i−4+(x3∗22+x2∗21+x1∗20)∗80

即：

x=82∗∑i=7ndi2i−7+(x3∗22+x2∗21+x1∗20)∗81+(x3∗22+x2∗21+x1∗20)∗80

依次类推，可见每三位读取转化为8进制是正确的。

证明负数等于取反加1

已知Negative(x)=2n−x，
令y为x每位取反后加1，下证y=Negative(x).

x=x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20

y=(1−x0)∗2n−1+(1−x1)∗2n−2+...+(1−xn−1)∗20+1

即：

y=2n−1+2n−2+...+21+20−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)+1

也即：

y=(2n−1+2n−2+...+21+20+1)−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)

由等比数列求和可得：

y=2n−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)

即：

y=2n−x

所以： y=Negative(x)

证明n位有符号二进制数x向m位有符号二进制数扩展时，使用最高位扩展。

证明：
(1)当x为正数的时候显然成立。
(2)当x为负数的时候x0=1，有

X=2n−X补n=2n−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)

X=2m−X补m=2m−x0∗(2m−1+2m−2+...+2m−n−1)−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)

把 x0=1代入上式，化简得：

X=2m−X补m=2m−(2m−2n)−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)

从而1式和2式相等。待证等式左右两边相等。证毕。