最短路径问题

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最短路径问题

  

  

这里介绍最短路径（Shortest Path）问题

  

  

  

  

  

实现最短路径的算法，通常是针对连通带权有向图的，但由于

无向图本身也是一种特殊的有向图，所以对于无向图和有向图

均成立

  

  

所谓最短路径问题，顾名思义，就是求出从一个顶点到另一个

顶点，耗费最小（即权值之和最小）的那条路径

  

  

  

  

  

最短路径问题在实际生活中有很多应用，如下：

  

（1）路径规划

  

假如每个顶点表示一个城市，每条边表示城市之间道路的路程，

那么从一个城市到另一个城市，自然愿意选择一个路程最短的

道路

  

  

（2）路由通信

  

假如在网络中，每个顶点表示一个路由器，每条边表示路由之

间通信的耗费，那么将一个网络包从一点发送到另一点，路由

器之间如何寻址，从而找到一个更优的路线，就是一个最短路

径问题

  

  

（3）工作任务规划

  

假如在工作中，每个顶点表示一个工作任务，每条边表示工作

任务之间的时间，那么从一个工作任务到另一个工作任务，中

间选择完成哪些子任务耗费时间更少，也是一个最短路径问题

  

  

  

  

  

其实在无权图中，也有最短路径问题。对于无权图，从某顶点

开始进行广度优先遍历，结果其实就是求出了一个最短路径

  

更具体的，求出的是从一个顶点到其它所有顶点的最短路径

  

这样一来，就形成了一棵从起始顶点到其它所有顶点的树，通

常称这棵树为最短路径树（Shortest Path Tree）

  

不难看出，这棵树其实也是该无权图的生成树，它满足的性质

是：所有顶点到起始顶点的距离最小

  

  

  

求得最短路径树的过程，解决了一个通常称为单源最短路径

（Single Source Shortest Path）的问题

  

「单源，即只有一个起始点」

  

换句话说，广度优先遍历就是解决了在无权图中的单源最短路

径问题

  

  

  

  

  

那么在有权图中，又如何来解决单源最短路径问题呢？首先来

看无权图和有权图的区别，如下：

  

（1）无权图的最短路径，将 0作为起始顶点

  

  

  

从 0开始，可以通过一条边到 1，即0-> 1，可以通过一条边

到 2，即0 -> 2

  

  

  

从 0开始进行广度优先遍历，就遍历到了 1 和 2，它们的路径

长度都是 1，如下：

  

  

  

此时在无权图中，显然已经是最短路径了，虽然0-> 2 -> 1

也是一条到达 1 的路径，但它不可能是比0->1 更短的路径

  

  

  

  

  

（2）有权图的最短路径，将 0作为起始顶点

  

  

三条边都有权，权值如上图所示

  

  

  

从 0开始，可以通过一条边到 1，即0->1，可以通过一条边

到 2，即 0 -> 2，如下：

  

  

  

但此时，并不能确定只通过这一条路径（一条边）所得的权值

一定是最小的

  

  

  

由于从 2也可以通过一条边到 1，就要考察一下 0 -> 2 -> 1

是否比0 -> 1的路径还要短，如下：

  

  

  

显然，0-> 2 -> 1的路径是短于 0 -> 1的路径的。因此，

就找到了一条更短的路径

  

「注意：路径更短 即权值更小，路径即权值」

  

  

  

  

  

求有权图的最短路径的过程：

  

前提条件：

  

（1）起始顶点当前顶点相邻顶点

  

（2）相邻顶点即当前顶点的相邻顶点

  

  

操作如下：

  

从起始顶点开始

  

当到达当前顶点时，就尝试一下经过当前顶点到相邻顶点所得

到的路径，是否比不经过当前顶点到相邻顶点所得到的路径更

短。如果更短，就更新一下从起始顶点到相邻顶点的当前最短

路径

  

  

称这个操作为松弛操作（Relaxation）

  

  

松弛操作的核心是当前顶点，看它的相邻顶点是否需要松弛，

每次松弛操作，实际上是对相邻顶点的访问

  

  

所谓松弛，其实是找到了一条更短的路径，但该路径的边数其

实更多，单从图上也能看出来，其实就是找到了一条直观上绕

道了的路径，是一条更松的路径

  

  

「松弛操作，是最短路径问题求解的核心」

  

  

对于松弛操作，不管有多少个顶点，其实都可以看做是一个三

角形操作，如下：

  

（1）一条线：两个顶点：0-> 1

  

0 既是起始顶点，又是当前顶点，1 是相邻顶点

  

  

（2）四边形：四个顶点：0 -> 1 -> 2 -> 3和 0 -> 3，

且0 -> 1 -> 2 加上 2 -> 3 的权值小于 0 -> 3 的权值

  

0 是起始顶点，2 是当前顶点，3 是相邻顶点

  

  

  

其它所有情况都是以上两种情况的变形，只要确认好起始顶点、

当前顶点、相邻顶点即可

  

  

  

  

  

  

  

  

  

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