素勾股数

以下的方法可用来找出勾股数。设 m > n 、 m 和 n 均是正整数，

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}

{\displaystyle b=2mn}

{\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}

若 m 和 n 是互质，而且 m 和 n 其中有一个是偶数，计算出来的 (a, b, c) 就是素勾股数。（若 m 和 n 都是奇数， (a, b, c) 就会全是偶数，不符合互质。）

所有素勾股数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

例子[编辑]

小于 100 的素勾股数列表：

abc34551213724258151794041116061123537138485166365202129284553335665367785398089485573657297

让我们把上述列式重组至以下列式：

{\displaystyle a^{2}=(c-b)(c+b)}

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现：(20, 21, 29) 与 (20, 99, 101)。

其中最先例子是5，它在以下两组勾股数之中出现(3,4,5)及(5,12,13)。

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是：

{\displaystyle 1229779565176982820}

{\displaystyle 1230126649417435981}

{\displaystyle 1739416382736996181}

与

{\displaystyle 1229779565176982820}

{\displaystyle 378089444731722233953867379643788099}

{\displaystyle 378089444731722233953867379643788101}

试考虑它的质因数分解

{\displaystyle 1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47}

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
using namespace std;
typedef  long long ll;
const ll maxn = 1e9+7;
ll n,used[1000000+10];
ll gcd(int x,int y)
{
    if(x%y==0)
    {
        return y;
    }
    else
    {
        return gcd(y,x%y);
    }
}
main()
{




    while(~scanf("%d",&n))
    {
        ll a,b,c;
        ll cnt = 0,cntused = 0;
        memset(used,0,sizeof(used));
        for(int i=1; i<=sqrt(n+0.5); i++)
        {
            for(int j=i+1; j*i<=n; j+=2)
            {
                if(gcd(i,j)==1)
                {
                    a=j*j-i*i;
                    b=2*i*j;
                    c=i*i+j*j;
                    if(c<=n)
                    {
                        cnt++;
                        if(!used[a])
                        {
                            used[a]=1;
                            cntused++;
                        }
                        if(!used[b])
                        {
                            used[b]=1;
                            cntused++;
                        }
                        if(!used[c])
                        {
                            used[c]=1;
                            cntused++;
                        }
                    }
                    for(int k=2; k*c<=n; k++)
                    {
                        if(!used[k*a])
                        {
                            used[k*a]=1;
                            cntused++;
                        }
                        if(!used[k*b])
                        {
                            used[k*b]=1;
                            cntused++;
                        }
                        if(!used[k*c])
                        {
                            used[k*c]=1;
                            cntused++;
                        }
                    }
                }


            }
        }
       // cout<<cntused<<endl;
        cout<<cnt<<" "<<n-cntused<<endl;
    }
}