Havel-Hakimi定理(判断一个序列是否可图)
来源:互联网 发布:股票交易记录分析软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/10 05:43
Havel定理描述
给定一个非负整数序列{d1,d2,...dn},若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应,则称此序列可图化。进一步,若图为简单图,则称此序列可简单图化。
可图化的判定比较简单:d1+d2+...dn=0(mod2)。关于具体图的构造,我们可以简单地把奇数度的点配对,剩下的全部搞成自环。
可简单图化的判定,有一个Havel定理,是说: 我们把序列排成不增序,即d1>=d2>=...>=dn,则d可简单图化当且仅当d'=(d2-1, d3-1, ... d(d1+1)-1, d(d1+2), d(d1+3), ... dn)可简单图化。这个定理写起来麻烦,实际上就是说,我们把d排序以后,找出度最大的点(设度为d1),把它和度次大的d1个点之间连边,然后这个点就可以不管了,一直继续这个过程,直到建出完整的图,或出现负度等明显不合理的情况。
定理的简单证明如下:
(<=)若d'可简单图化,我们只需把原图中的最大度点和d'中度最大的d1个点连边即可,易得此图必为简单图。
(=>)若d可简单图化,设得到的简单图为G。分两种情况考虑:
(a)若G中存在边(V1,V2), (V1,V3), ...(V1,V(d1+1)),则把这些边除去得简单图G',于是d'可简单图化为G'
给定一个非负整数序列{d1,d2,...dn},若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应,则称此序列可图化。进一步,若图为简单图,则称此序列可简单图化。
可图化的判定比较简单:d1+d2+...dn=0(mod2)。关于具体图的构造,我们可以简单地把奇数度的点配对,剩下的全部搞成自环。
可简单图化的判定,有一个Havel定理,是说: 我们把序列排成不增序,即d1>=d2>=...>=dn,则d可简单图化当且仅当d'=(d2-1, d3-1, ... d(d1+1)-1, d(d1+2), d(d1+3), ... dn)可简单图化。这个定理写起来麻烦,实际上就是说,我们把d排序以后,找出度最大的点(设度为d1),把它和度次大的d1个点之间连边,然后这个点就可以不管了,一直继续这个过程,直到建出完整的图,或出现负度等明显不合理的情况。
定理的简单证明如下:
(<=)若d'可简单图化,我们只需把原图中的最大度点和d'中度最大的d1个点连边即可,易得此图必为简单图。
(=>)若d可简单图化,设得到的简单图为G。分两种情况考虑:
(a)若G中存在边(V1,V2), (V1,V3), ...(V1,V(d1+1)),则把这些边除去得简单图G',于是d'可简单图化为G'
(b)若存在点Vi,Vj使得i<j, (V1,Vi)不在G中,但(V1,Vj)在G中。这时,因为di>=dj,必存在k使得(Vi, Vk)在G中但(Vj,Vk)不在G中。这时我们可以令GG=G-{(Vi,Vk),(V1,Vj)}+{(Vk,Vj),(V1,Vi)}。GG的度序列仍为d,我们又回到了情况(a)。
(以下演示转自 “每天进步一点点” 博客: http://sbp810050504.blog.51cto.com/2799422/883904)
Havel-Hakimi定理很容易理解:
三步走就可以了:
比如序列:4 7 7 3 3 3 2 1
下标
1
2
3
4
5
6
7
8
值
4
7
7
3
3
3
2
1
第一步:把序列按降序排序。
下标
1
2
3
4
5
6
7
8
值
7
7
4
3
3
3
2
1
第二步:删除第一个数7。序列变成
下标
1
2
3
4
5
6
7
值
7
4
3
3
3
2
1
第三步:从头开始,数7个数,也就是下标:[1,7]把[1,7]区间里的值都减1
由于第一个数已经删除,那么序列变成这样的了:
下标
1
2
3
4
5
6
7
值
6
3
2
2
2
1
0
然后:
重复第一步:排序。
重复第二步:删除第一个数6
重复第三步:从头开始数6个数:也就是下标【1,6】,把区间【1,6】中的数删除。序列变成:
下标
1
2
3
4
5
6
值
2
1
1
1
0
-1
由于已经出现了-1,而一个点的边数(度)不可能为负数。所以,我们就可以判定序列无法构成一个图,所以此序列是不可图的。
下面再举一个例子:
已经排序:
5
4
3
3
2
2
2
1
1
1.
删除第一个数5:
4
3
3
2
2
2
1
1
1.
把前面5个数减1:
3
2
2
1
1
2
1
1
1.
排序:
3
2
2
2
1
1
1
1
1.
删除第一个数3:
2
2
2
1
1
1
1
1.
把前面3个数减1:
1
1
1
1
1
1
1
1.
排序:
1
1
1
1
1
1
1
1.
删除第一个数1:
1
1
1
1
1
1
1.
把前面1个数减1:
0
1
1
1
1
1
1.
排序:
1
1
1
1
1
1
0
删除第一个数1:
1
1
1
1
1
0
把前面1个数减1:
0
1
1
1
1
0
排序:
1
1
1
1
0
0
依此类推:到最后只剩下:
0
0
0
0
由此判断该序列是可图的。
核心代码:
bool Havel_Hakimi(){ for(int i=0; i<n-1; ++i){ sort(arr+i,arr+n,greater<int>()); if(i+arr[i] >= n) return false; for(int j=i+1; j<=i+arr[i] ; ++j){ --arr[j]; if(arr[j] < 0) return false; } } if(arr[n-1]!=0) return false; return true; }
关于这个定理应用的题目:
1. poj 1659 :
http://poj.org/problem?id=1659
2. UVa 10720 - Graph Construction:
http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=1661
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- POJ1659_Frogs' Neighborhood(判断一个度数序列是否可图/Havel-Hakimi定理)
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- POJ 1659 判断是否可图(Havel-Hakimi定理)
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- (图论)使用Havel-Hakimi定理判断给出的序列是否可图
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- poj1659 - Frogs' Neighborhood (利用Havel-Hakimi定理判断一个序列是否是可图的)
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