期末作业8.14

8.14
Prove that the following problem is NP-complete:
given an undirected gragh G={V,E} and an integer k,return a clique of size k as well as an independent set of size k,provided both exist.

prove:

可以将最大团问题规约到此问题。假设要求任意图G(V,E)中大小为k的团，可以在图G中添加k个相互独立的顶点，得到新图G’。这新加的k个定点保证了图G’存在大小为k的独立集，同时又不影响到原图的团。

对于任意一个有k个clause的3SAT表达式，我们对于每个clause构造一个三点三边呈现三角形的子图，（共有k个三角形）
对于每个变量，两种相反的形式之间连一条边，如果能够找到k个元素的独立集，必然k个点分布在k个三角形，即选择了k个变量，使得表达式满足。验证满足性显然是快速的。
于是，当我们有多项式时间算法解决k独立集问题时，我们就一定有多项式时间算法解决3SAT问题，所以k独立集问题是NP-complete problem.