8.4 线性相关、基、维数和子空间
来源:互联网 发布:金蝶软件成本核算 编辑:程序博客网 时间:2024/05/01 11:18
如果逆矩阵
(其中
8.4.1 线性相关与线性无关
为了分析方程有多少个解,我们可以将
一般而言,这种操作被称为线性组合(linear combination)。形式上,一组向量的线性组合,是指每个向量乘以对应标量系数之后的和,即:
确定
为了使方程
不等式
正式地说,这种冗余被称为线性相关(linear dependence)。如果一组向量中的任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合,那么这组向量被称为线性无关(linearly independent)。如果某个向量是一组向量中某些向量的线性组合,那么我们将这个向量加入到这组向量后不会增加这组向量的生成子空间。这意味着,如果一个矩阵的列空间涵盖整个
让我们举几个关于线性无关和线性相关的例子。首先是线性无关的例子。
例1
因为⎡⎣⎢000⎤⎦⎥=c1⎡⎣⎢100⎤⎦⎥+c2⎡⎣⎢010⎤⎦⎥+c3⎡⎣⎢001⎤⎦⎥ 的解,只有以下解⎧⎩⎨⎪⎪c1=0c2=0c3=0
所以向量⎡⎣⎢100⎤⎦⎥ 、向量⎡⎣⎢010⎤⎦⎥ 、向量⎡⎣⎢001⎤⎦⎥ 线性无关。
例2
因为⎡⎣⎢000⎤⎦⎥=c1⎡⎣⎢100⎤⎦⎥+c2⎡⎣⎢010⎤⎦⎥ 的解,只有以下解{c1=0c2=0
所以向量⎡⎣⎢100⎤⎦⎥ 、向量⎡⎣⎢010⎤⎦⎥ 线性无关。
关于线性相关的例子
例3
因为⎡⎣⎢000⎤⎦⎥=c1⎡⎣⎢100⎤⎦⎥+c2⎡⎣⎢010⎤⎦⎥+c3⎡⎣⎢310⎤⎦⎥ 的解,不仅有以下解
⎧⎩⎨⎪⎪c1=0c2=0c3=0
,还有
⎧⎩⎨⎪⎪c1=3c2=1c3=−1
等解。
所以向量⎡⎣⎢100⎤⎦⎥ 、向量⎡⎣⎢310⎤⎦⎥ 线性相关。
例2
因为⎡⎣⎢000⎤⎦⎥=c1⎡⎣⎢100⎤⎦⎥+c2⎡⎣⎢010⎤⎦⎥+c3⎡⎣⎢001⎤⎦⎥+c4⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥ 的解,不仅有以下解
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪c1=0c2=0c3=0c4=0
,还有
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪c1=a1c2=a2c3=a3c4=−1
等解,所以向量⎡⎣⎢100⎤⎦⎥ 、向量⎡⎣⎢010⎤⎦⎥ 、向量⎡⎣⎢001⎤⎦⎥ 、向量⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥ 线性相关。
同样,因为⎡⎣⎢⎢⎢⎢00⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥=c1⎡⎣⎢⎢⎢⎢10⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥+c2⎡⎣⎢⎢⎢⎢01⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥+⋯+cm⎡⎣⎢⎢⎢⎢00⋮1⎤⎦⎥⎥⎥⎥+cm+1⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1a2⋮am⎤⎦⎥⎥⎥⎥ 的解,不仅有以下解
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c1c2cmcm+1==⋮==0000
,还有
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c1c2cmcm+1==⋮==a1a2am−1
等解,所以向量⎡⎣⎢⎢⎢⎢10⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥ 、向量⎡⎣⎢⎢⎢⎢01⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥ 、向量⎡⎣⎢⎢⎢⎢00⋮1⎤⎦⎥⎥⎥⎥ 、向量⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1a2⋮am⎤⎦⎥⎥⎥⎥ 线性相关。
8.4.2 基
对于
基是为了表示
8.4.3 子空间
假设
1.
2.
即满足这两个条件时,
1. 如果
2. 如果
我们就把
要想使矩阵可逆,我们还需要保证式
综上所述,这意味着该矩阵必须是一个方阵(square),即
如果矩阵
目前位置,我们已经讨论了逆矩阵左乘。我们也可以定义逆矩阵右乘:
对于方阵而言,它的左逆和右逆是相等的。
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- 线性相关与线性子空间
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- 07. 线性相关、基、维数
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