HYSBZ/BZOJ2301 problem b

题目

对于给出的 n 个询问，每次求有多少个数对 (x,y) ，满足 a ≤ x ≤ b ， c ≤ y ≤ d ，且 gcd(x,y) = k。

分析

利用容斥原理，我们可以把问题转化为求1≤x≤n,1≤y≤m,中有多少个数对满足gcd(x,y)=k.
我们令f(i)为1<=x<=n,1<=y<=m且gcd(x,y)=i的数对(x,y)的个数，F(i)为1<=x<=n,1<=y<=m且i|gcd(x,y)的数对(x,y)的个数
显然，F(n)=⌊nd⌋⌊md⌋
由于满足F(n)=∑n|df(d)
因此可以用莫比乌斯反演，f(i)=∑i|dμ(di)F(d)=∑i|dμ(di)⌊nd⌋⌊md⌋

由于⌊nd⌋最多只有2n−√个取值，则可以用分块的方法做
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下附代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;int mobiwuzi[50005];int sum[50005];bool vis[50005];int prime[50005];void shai(){    long long cnt=0;    mobiwuzi[1]=1;    for(long long i=2;i<=50000;i++){        if(!vis[i]){        prime[++cnt]=i;        mobiwuzi[i]=-1;    }    for(long long j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=50000;j++){        vis[i*prime[j]]=1;        if(i%prime[j]==0)            mobiwuzi[i*prime[j]]=0;        else            mobiwuzi[i*prime[j]]=-mobiwuzi[i];        if(i%prime[j]==0)            break;    }}}int f(int n,int m){    if(n>m)        swap(n,m);int last,ans=0;for(int i=1;i<=n;){    last=min(n/(n/i),m/(m/i));    ans+=(n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);    i=last+1;}return ans;}int main(){shai();for(int i=1;i<=50000;i++)    sum[i]=sum[i-1]+mobiwuzi[i];int t;scanf("%d",&t);while(t--){    int a,b,c,d,k;    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);    printf("%d\n",f(b/k,d/k)-f((a-1)/k,d/k)-f(b/k,(c-1)/k)+f((a-1)/k,(c-1)/k));}}